Funktionen umstellen

20.05.2011, 15:16

Gruszki

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Funktionen umstellen

Meine Frage:
Ich habe folgendes Problem.
Ich habe die Gleichung

f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{50} x + 48 - 8437,5 x^{-2} \end{eqnarray*}$

und will diese nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ umstellen und auflösen. Doch irgendwie verwirrt mich dieses " $\begin{eqnarray*} x^{-2} \end{eqnarray*}$ " total. Kann mir jemand evtl. helfen, diese Aufgabe zu lösen?

Meine Ideen:
Also was ich bereits weiß, was evtl weiterhelfen könnte.

Also
$\begin{eqnarray*} x^{-2} \end{eqnarray*}$ ist ja das selbe, wie: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x²} \end{eqnarray*}$

Ich dachte, dass es mir irgendwie hilft, die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aufzulösen, aber irgendwie hab ich 'nen Hänger.. ^^

20.05.2011, 15:16

Iorek

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Du hast da eine Funktionsgleichung gegeben, wieso willst du diese nach x umstellen? Willst du vielleicht eher die Nullstellen der Funktion berechnen?

20.05.2011, 19:38

Gruszki

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Danke ersteinmal für deine Antwort smile

smile

Es wird jetzt ein langer Text folgen, ich hoffe, dass ihr euch den durchlesen werdet^^

ich fange mal von vorne an.

Die Aufgabe: Die Autobahn irgendwo ist 500 km lang irgendwo in Nirgendwonien. Auch dort muss man auf Autobahnen zwischen 60 und 100 km/h fahren. Der Liter Diesel kostet 1,20€ der Fahrer verdient tarifliche 16,875€ in der Stunde. Die Kosten hängen nur vom Verdienst des Fahrers und vom Benzinverbrauch ab, der sich folgendermaßen errechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{600} v² + 8 \end{eqnarray*}$

(b in Liter pro 100 km, v in km/h).

Die Route soll möglichst kostengünstig gefahren werden.

soo.. aufgrund der Tatsache, dass die Autbahn 500 km lang ist, und die Funktion die Liter Diesel pro 100km angibt, habe ich die Funktion mit 5 multipliziert.

also: $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{600} v² + 8) * 5 \end{eqnarray*}$

da ein Liter Diesel 1,20€ kostet habe ich die entstandene Funktion mit 1,2 multipliziert.

also: $\begin{eqnarray*} [(\frac{1}{600} v² + 8) * 5] * 1,2 \end{eqnarray*}$

soo.. die restlichen werte fehlen noch alle, sprich die 16,875 € etc.

für diese werte habe ich eine eigene Funktion gemacht.

Sie lautet: $\begin{eqnarray*} Lohn(x) = \frac{500}{v} * 16,875 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} "\frac{500}{v}" \end{eqnarray*}$ , weil er 500 km fahren muss mit einer Geschwindigkeit (v), die wir nicht kennen, also wissen wir auch nicht wie lange er für diese Strecke braucht.

Ich hoffe es ist soweit alles nachvollziehbar. smile

smile

So, diese beiden Funktionen habe ich dann jetzt addiert.

sprich $\begin{eqnarray*} f(v) = [(\frac{1}{600} v² + 8) * 5] * 1,2 + (\frac{500}{v} * 16,875) \end{eqnarray*}$

am Ende hatte ich de Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(v) = \frac{1}{100} v² + 48 + \frac{8437,5}{v} \end{eqnarray*}$

soo.. diese allgemeine Funktion gibt ja jetzt den Preis an, den der LKW-Fahrer abdrücken muss, an. So habe ich mir das zumindest gedacht.

Und um jetzt die Geschwindigkeit auszurechnen, habe ich die Ableitung der Funktion gebildet..

--> $\begin{eqnarray*} f(v) = \frac{1}{50} v + 48 - \frac{8437,5}{v²} \end{eqnarray*}$ oder halt, wie in meiner frage:

$\begin{eqnarray*} f(v) = \frac{1}{50} v + 48 - 8437,5* v^{-2} \end{eqnarray*}$

und um jetzt an die gewünschte "kostengünstigste" Geschwindigkeit zu kommen, dachte ich mir, dass ich die Funktion nach V umstelle und auflöse..

Liege ich da falsch? Wenn ja, was ist der richtige Lösungsansatz? smile

smile

20.05.2011, 20:06

Equester

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Die Ableitung ist falsch.
Was ist 48 abgeleitet? verwirrt

verwirrt

Den Rechenweg würde ich mal bestätigen Freude

Freude

P.S.: Die Ableitung wird als f'(v) geschrieben! Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.05.2011, 20:10

Gruszki

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ach schokolade.. Big Laugh

Big Laugh

stimmt. konstante summanden fallen weg.

also: $\begin{eqnarray*} f'(v) \frac{1}{50} v - 8437,5 * v^{-2} \end{eqnarray*}$

so. jetzt ist mein Hänger aber immernoch da. Wie stelle ich jetzt nach v um?
mich stört dieses $\begin{eqnarray*} v^{-2} \end{eqnarray*}$ oder halt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{v²} \end{eqnarray*}$ .

20.05.2011, 20:13

Equester

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Einfacher zu schreiben ist es, wenn du das Nullsetzt, was ja auch Aufgabe ist.

$\begin{eqnarray*} f'(v) =\frac{1}{50} v - 8437,5 * v^{-2}=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt multipliziere mit v² Augenzwinkern

Augenzwinkern

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20.05.2011, 20:23

Gruszki

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ok.
die folgende Rechnung sieht ein wenig merkwürdig aus, von der Form her. Ich hoffe du kannst sie nachvollziehen smile

smile

$\begin{eqnarray*} f'(v) = \frac{1}{50}v - 8437,5* v^{-2}= 0 | *v²<br /> <br /> = \frac{1}{50}v³ - 8437,5 | + 8437,5<br /> <br /> 8437,5 = \frac{1}{50}v³ | * \frac{1}{50}<br /> <br /> 421875 = v³ |\sqrt[3]{421875} <br /> <br /> 75 = v \end{eqnarray*}$

Also ist die Geschwindigkeit, mit der der LKW-Fahrer fahren sollte 75 km/h, um möglichst kostengünstig zu fahren?

Kann ich das noch irgendwie nachweisen?

20.05.2011, 20:29

Equester

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In der zweiten Zeile fehlt mir das Gleichheitszeichen mit der 0 auf der anderen
Seite. Das ist aber schon das einzig merkwürdige und im Gegenteil richtig!
Du erhälst in diesem Fall auch nur eine Lösung..die richtig ist.

Wie "anders" nachweisen? Du hast das Minimum gefunden, das reicht.
D.h. du solltest vllt noch kurz zeigen, dass es sich wirklich um ein Minimum handelt.
Stichwort 2te Ableitung oder VZW-Kriterium Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.05.2011, 20:41

Gruszki

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ok, danke.

ok, der Tiefpunkt ist nachgewiesen:

$\begin{eqnarray*} f''(v) = \frac{1}{50} + 16875* v^{-3}<br /> <br /> f''(75) = 0,06 < 0 \end{eqnarray*}$

also ein Tiefpunkt smile

smile

Juhu! ^^

So, ich hoffe, du kannst mir bei der zweiten Teilaufgabe auch noch helfen?
Ich verstehe nicht, wie ich sie beantworten soll.

"Hängt die optimale Geschwindigkeit von der Entfernung E ab - und wenn ja- wie?"

20.05.2011, 20:49

Equester

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Ich kanns ja mal mit dir versuchen^^

Ersetze 500 durch e. Was passiert dann? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist die Ableitung von e abhängig?

20.05.2011, 21:31

Gruszki

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ja ist sie doch, oder?
weil ich jetzt nen Faktor habe, den ich "nicht kenne", der halt E heißt. E kann ja auch 600km sein etc. und wenn ich für 500 e einsetze, dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} f(v) = \frac{1}{100}v² + 48 + \frac{e}{v} * 16,875 \end{eqnarray*}$

und die Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f'(v) = \frac{1}{50}v - 16,875 * e * v^{-2} \end{eqnarray*}$

oder darf ich das so nicht machen?

20.05.2011, 21:36

Equester

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Du erinnerst dich an das *5? Das hast du gemacht, weil du gleich kürzen konntest.
Da muss also auch noch das e rein Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.05.2011, 21:45

Gruszki

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achso dann muss es anfangs so heißen?

$\begin{eqnarray*} f(v) = [ (\frac{1}{600}v² + 8) * e] *1,2 + \frac{e}{v} * 16,875 \end{eqnarray*}$

woraus dann ganz zum Schluss rauskommt:
$\begin{eqnarray*} f(v) = \frac{1}{500}ev² + 9,6e + \frac{16,875e}{v} \end{eqnarray*}$

20.05.2011, 21:48

Equester

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Statt 5 steht doch da eigentlich 500/100 -> =5
Bei uns also e/100 Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.05.2011, 21:52

Gruszki

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also

$\begin{eqnarray*} f(v) = [ (\frac{1}{600}v² + 8) *\frac{e}{100} ] *1,2 + \frac{e}{v} * 16,875 \end{eqnarray*}$

woraus dann ganz zum Schluss rauskommt:
$\begin{eqnarray*} f(v) = \frac{1}{5}ev² + \frac{12}{125} e + \frac{16,875e}{v} \end{eqnarray*}$

20.05.2011, 21:56

Equester

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Du hast bei den ersten beiden Summanden nicht beachtet, dass du e/100 stehen hast^^

20.05.2011, 21:58

Gruszki

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oh man.. danke bisher soweit smile

smile

ich werde mich mal aufs ohr hauen, muss morgen arbeiten^^
ich schaue morgen nochmal hier vorbei und dann rechnen wir evtl zusammen weiter? smile

smile

wäre nett

smile

20.05.2011, 22:00

Equester

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Ich bin aber erst gegen Abend da. Habe selbst zu schaffen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann kann ich mich gern weiters dran versuchen :P

Gute Nacht Wink

Wink

21.05.2011, 14:24

Gruszki

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So, geschafft von der Arbeit bin ich wieder da und hoffe, dass ich es schaffe, die Aufgabe zu lösen smile

smile

ich fange mal an.

Zitat:

Original von Equester
Du hast bei den ersten beiden Summanden nicht beachtet, dass du e/100 stehen hast^^

verstehe ich nicht?

ich schreibe mal meinen Rechenweg auf:

$\begin{eqnarray*} f(v) = [(\frac{1}{600} v² + 8) * \frac{500}{100}] * 1,2 + (\frac{500}{v} * 16,875) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 500 = e \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} f(v) = [(\frac{1}{600} v² + 8) * \frac{e}{100}] * 1,2 + (\frac{e}{v} * 16,875) \end{eqnarray*}$

weitergehts mit ausmultiplizieren etc.

$\begin{eqnarray*} f(v) = (\frac{e}{6}v² + \frac{8e}{100}) * 1,2 + (\frac{e}{v} * 16,875) \end{eqnarray*}$

daraus folgt dann:

$\begin{eqnarray*} f(v) = \frac{e}{5}v² + \frac{12e}{125} + \frac{e}{v} * 16,875 \end{eqnarray*}$

oder ist mir jetzt ein Fehler unterlaufen?

21.05.2011, 16:39

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok der zweite Summand stimmt, der erste ist aber dennoch falsch:

$\begin{eqnarray*} \frac{v²}{600}*\frac{e}{100}=? \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.05.2011, 13:04

Gruszki

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also:

$\begin{eqnarray*} \frac{ev²}{50000} + \frac{12e}{125} + \frac{e}{v} * 16,875 \end{eqnarray*}$ ?

22.05.2011, 13:25

Equester

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60000 im Nenner, aber sonsts passts Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.05.2011, 14:37

Gruszki

Auf diesen Beitrag antworten »

wieso 60.000 im nenner? ich musste doch noch mit 1,2 multiplizieren?

22.05.2011, 14:47

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Sry mein Fehler. Wollte wohl erst meine Frage beantwortet haben Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.05.2011, 15:08

Gruszki

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ja kein ding ^^
Aber wie kann ich jetzt in der Funktion erkennen, ob die optimale Geschw. von der Entfernung abhängt?

22.05.2011, 15:20

Equester

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Die Ableitung bilden. Schaun obs von e abhängig ist oder nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.05.2011, 20:30

Gruszki

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{2ev}{50000} - 16,875 * e* v^{-2} \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

22.05.2011, 21:35

Equester

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Ich denk das passt Freude

Freude

23.05.2011, 16:09

Gruszki

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So.. und wie kann ich jetzt daran erkennen, ob die Abeitung von e abhängig ist, oder nicht?

23.05.2011, 16:13

Equester

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Du willst das ganze wieder ja 0 setzen. Wenn du das machst, kannst du e ausklammern
und damit dividieren (für e ungleich 0!). Wir sind also von e unabhängig Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.05.2011, 18:08

Gruszki

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Zitat:

Original von Equester
Du willst das ganze wieder ja 0 setzen. Wenn du das machst, kannst du e ausklammern
und damit dividieren (für e ungleich 0!). Wir sind also von e unabhängig Augenzwinkern

Augenzwinkern

wie muss ich das verstehen? tut mir leid, bin grad bisschen schwer von begriff Big Laugh

Big Laugh

23.05.2011, 18:13

Equester

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Du willst ja nach v auflösen. Alles was störst räumst du aus dem Weg^^
Dazu gehört auch das e. Das lässt sich leicht entfernen -> Ausklammern und dann
dividieren.

Bsp.: Du willst nach x auflösen:

3x²-9x=3(x²-x)=0
Die 3 kannst du ja bei der Betrachtung weglassen.

Nun ist die 3 bei uns das e -> wie die 3 hat das e keinen Einfluss Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.05.2011, 18:19

Gruszki

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ah, gut, ich hab's verstanden! endlich habe ich die aufgabe fertig smile

smile

jetzt kann ich sie morgen abgeben smile

smile

vielen, vielen dank! smile

smile

23.05.2011, 18:24

Equester

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Gerne

Wink

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