Überprüfung der Differenzierbarkeit

Neue Frage »

Fabs Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfung der Differenzierbarkeit
Hi all!
Ich habe ein Problem bei folgendem Beispiel:

Überprüfen Sie auf Differenzierbarkeit und berechnen sie ggf. die Ableitung, wo vorhanden:

http://fabs87.ohost.de/fx1.jpg

Man kann diese Funktion doch überall differenzieren. Mir ist nicht ganz klar was man hier rechnen/beweisen soll?

lg
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung der Differenzierbarkeit
Hi!

Eine Funktion heißt in differenzierbar, für mit der Ableitung wenn



exisitert. Nachrechnen! Was ist denn dann die Ableitung???
Fabs Auf diesen Beitrag antworten »

hi,
man muss also 3 ableitungen:


mit

x_0 =\pm \infty ,0\

??
Fabs Auf diesen Beitrag antworten »

sry, ich meine:

mit:
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, sind normalerweise nicht Elemente des Definitionsbereiches. Für alle ist die Funktion als Produkt zweier differenzierbarer Funktionen nach der Produktregel natürlich differenzierbar. Wie es mit der Differenzierbarkeit im Nullpunkt aussieht, musst du seperat mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit überprüfen.

Gruß MSS
Fabs Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Für alle ist die Funktion als Produkt zweier differenzierbarer Funktionen nach der Produktregel natürlich differenzierbar.


Ok, aber wie kann ich das überprüfen/beweisen. Einfach beliebige Werte AUßER 0 für einsetzen?

Zitat:

Wie es mit der Differenzierbarkeit im Nullpunkt aussieht, musst du seperat mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit überprüfen.

Aber im Nullpunkt ist es ja klar, dass beim differenzieren immer 0 herauskommt, da ja schon in der angabe steht f(x) = 0 (für x=0). Und die Ableitung einer Konstanten (hier 0) ergibt doch immer 0!
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung einer Konstante ist , das stimmt. Aber dafür muss die Funktion in einer Umgebung um diese Funktion konstant sein! Ansonsten könnte ich ja einfach sagen: Für ist und damit ist , weil die Ableitung einer Konstanten ja ist.
Siehst du, warum diese Argumentation nicht funktioniert?

Gruß MSS
Fabs Auf diesen Beitrag antworten »

aha, versthe. Das heißt ich prüfe die Funktion bei 0, ob sie dort differenzierbar ist. Aber was ist mit x != 0? Kann man jetzt hier einfach verschiedene, beliebige Werte einsetzten? Irgendwie wäre das ja dann kein "professioneller" Beweis, oder?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Für gibt es eine Umgebung um , sodass für alle in der Umgebung gilt:

.

Und dann kann man weiterargumentieren.
Aber viel wichtiger ist die Frage: Wie hast du denn jetzt die Differenzierbarkeit in behandelt?

Gruß MSS
Fabs Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, also die Differenzierbarkeit im Punkt 0 habe ich folgendermaßen überprüft:





D.h. die Funktion ist im Punkt x=0 nur 1 mal differenierbar.

Aber wie kann man nun beweisen/zeigen, dass die Funktion in allen anderen Punkten beliebig oft differenzierbar ist?

lg
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Warum kürzt du nicht gleich weg? Dass die Ableitung ist, ist aber korrekt.

Zitat:
Original von Fabs
D.h. die Funktion ist im Punkt x=0 nur 1 mal differenierbar.

Du hast die Differenzierbarkeit bewiesen, aber warum soll sie deswegen nur einmal differenzierbar sein?

Zitat:
Original von Fabs
Aber wie kann man nun beweisen/zeigen, dass die Funktion in allen anderen Punkten beliebig oft differenzierbar ist?

Das habe ich dir doch weiter oben schon gesagt.

edit: Ich war im ganzen Thread auf eine etwas andere Funktion fixiert, es geht auch einfacher.
Wegen gilt einfach



für alle . Also ist einfach unendlich oft differenzierbar.

Gruß MSS
Fabs Auf diesen Beitrag antworten »

ok vielen dank an dich, du hast mir sehr geholfen!
Ich habe nicht gewusst, dass man das Beispiel einfach mit ein paar Sätzen erklären kann.

Eine Frage habe ich aber noch. Warum ist die Angabe so gegeben:

http://fabs87.ohost.de/fx1.jpg

Da ist, könnte die Angabe ja auch ganz einfach nur

lauten.

lg
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung. Bist du auch sicher, dass es nicht um



geht? Diese Funktion hatte ich nämlich die ganze Zeit im Kopf. Evtl. hat sich der Aufgabensteller ja auch verschrieben.

Gruß MSS
Fabs Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, habe die Angabe nämlich einfach nur so rauskopiert. Das zweite Beispiel lautet so ähnlich. Hier mal die pdf, es ist gleich die erste Nummer:
http://www.math.tugraz.at/mathc/mathe/1e-zusatzaufgaben-blatt1.pdf

Vl. hat der Aufgabensteller die Aufgabe ja absichtlich so gestellt, damit man zeigen kann, das und nicht nur .

Nochmal thx für die nette Hilfe!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »