Isomorphie von S3 und Gln(K)

10.12.2006, 20:53

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Isomorphie von S3 und Gln(K)

Hi!

Wir sollen alle Elemente der $\begin{eqnarray*} GL_2(\mathbb F_2) \end{eqnarray*}$ bestimmen. Dabei sei $\begin{eqnarray*} GL_n \end{eqnarray*}$ die Menge der invertierbaren $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ Matrizen über dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2=[0,1] \end{eqnarray*}$ . Gut, die Matrizen bestimmen ist ja nicht schwer. Einfach alle hinschreiben (16 Stück) und dann nur noch die stehenlassen, die invertierbar sind. Das erkenne ich anhand der Determinante. Die Elemente von $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ sind ja gerade $\begin{eqnarray*} s_3=\{\operatorname{id},(12),(13),(23),(123),(132)\} \end{eqnarray*}$ .

Nun zur Isomorphie... Ich muss mir also eine bijektive Abbildung bauen zwischen $\begin{eqnarray*} GL_2(\mathbb F_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ , also z.B.

$\begin{eqnarray*} \varphi:~GL_2(\mathbb F_2)\rightarrow S_3 \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} A \mapsto ~??? \end{eqnarray*}$

Wie kann ich meine Abbildung denn definieren??? Wie soll ich eine Matrix auf die Permutationsgruppe abbilden? Oder reicht es mit dem Gleichmächtigkeitsarhument zu kommen?

Wäre für jeden Tipp dankbar...

10.12.2006, 21:40

ArminTempsarian

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RE: Isomorphie von S3 und Gln(K)
Bist du dir sicher, dass bei deiner Angabe alles stimmt?

10.12.2006, 21:43

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RE: Isomorphie von S3 und Gln(K)
Was soll denn falsch sein??? Bei der Angabe kann ich ja kein Fehler machen - hat mir ja mein Prof so gegeben...
Hat jemand nee Idee für mich geschockt

geschockt

10.12.2006, 21:45

20_Cent

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von der anzahl her kommts hin?

dann musst du eigentlich nur noch die einheitsmatrix auf die identität schicken und dir erzeugende elemente suchen und die aufeinander abbilden.

mfG 20

10.12.2006, 21:47

ArminTempsarian

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RE: Isomorphie von S3 und Gln(K)
Zunächst mal:

Die Elemente von S_3 sehen so aus:

(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)

Falls Du statt GL_2 GL_3 meinst, kann ich mir eine Bijektion gut vorstellen, ansonsten nicht, da GL_2 nur 2 Elemente enthält.

10.12.2006, 21:49

20_Cent

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RE: Isomorphie von S3 und Gln(K)

Zitat:

Original von ArminTempsarian
Zunächst mal:

Die Elemente von S_3 sehen so aus:

(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)

was soll das denn sein?

(1,2,3) ist das gleiche wie (2,3,1) und (3,1,2).

vllt kennst du eine andere schreibweise, aber ich denke nicht...

das ist jedenfalls nicht S_3, denn in S_3 muss die Identität sein, und die kann ich bei dir nicht sehen.

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10.12.2006, 21:54

ArminTempsarian

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RE: Isomorphie von S3 und Gln(K)
Das sind geordnete Tripel, ist also nicht das Gleiche - die Identität (1,2,3)

Gut möglich, dass ich da was falsch verstanden habe, aber wieso stimmts von der Anzahl her?

10.12.2006, 21:54

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Oh je, jetzt bin ich vollkommen verwirrt... Stimmen denn meine Elemente aus $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ nicht? Ich habe sämtliche Elemente von $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ in Zyklenschreibweise angegeben, so wie ich es in der LA I gelernt habe.
Also aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergibt sich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} =(1) \end{eqnarray*}$

usw.???

Gut, vielleicht habe ich mich schlecht ausgedrückt. Ich betrachte den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ mit 2 Elementen 0,1. Daraus bilde ich alle möglichen Matrizen, die 16 in der Zahl sind. Dann streiche ich diejenigen, für die gilt $\begin{eqnarray*} \det=0 \end{eqnarray*}$ . Da bleiben nur noch 6 übrig...
@20 cent: OK, mit der identischen Abbildung war klar! Was ist denn besser - vom $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ ausgehen oder von $\begin{eqnarray*} GL_2(\mathbb F_2) \end{eqnarray*}$ ... Wenn ich zweiteres nehme, muss ich dann also 2 Matzizen finden, welche die anderen darstellen???

10.12.2006, 22:00

20_Cent

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@ArminTempsarian: deine Schreibweise ist mir nicht bekannt, dann stimmts aber auch...

@vektorraum: ne, ist schon ok, ist beides richtig.

6 matrizen stimmen auch.

ich weiß nicht, was besser ist ,ich hab leider im moment wenig zeit das auszuprobieren ,ich denke aber, du kannst einfach ein bisschen rumprobieren, dann klappt das schon...

Übrigens, (12) und (123) erzeugen S_3, soviel ich weiß.

mfg 20

10.12.2006, 22:07

ArminTempsarian

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Ich denke, dass wir mit den Permutationen das gleiche meinen, nur dass ich explizit angeschrieben habe, in was die Elemente aus {1,2,3} übergehen, ich denke nicht, dass das so wichtig ist.

Wichtig ist jedoch, dass GL_2 die gleiche Mächtigkeit hat, und ich nicht verstehe, wie sie das haben kann, falls damit die Menge der invertierbaren 2x2-Matrizen über F_2 gemeint ist. Möglicherweise hab ich da grad einen groben Denkfehler, aber bei mir sind das genau 2, nämlich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Oder versteh ich da was falsch?

EDIT: Sollte zuerst denken, dann schreiben

11.12.2006, 09:12

20_Cent

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die anderen sind die 4 möglichkeiten auf die nullen noch jeweils eine 1 zu packen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

mfg 20

11.12.2006, 21:23

vektorraum

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Ich habe heute nochmal drüber nachgedacht... Aber irgendwie macht mir der $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ Probleme traurig

traurig

Ich muss doch jetzt aus der $\begin{eqnarray*} GL_2(\mathbb F_2) \end{eqnarray*}$ einfach die beiden Matrizen finden, die die anderen erzeugen. Für $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ hat 20_Cent die ja schon angegeben...
Wie kann ich denn nun eine Abbildung ersteinmal überhaupt definieren, dass das dann auch stimmt. Bis auf die identische fällt mir da nix ein... Soll ich da vielleicht über die Faktorgruppen gehen oder so???
Brauch nen Tipp verwirrt

verwirrt

11.12.2006, 22:25

Sunwater

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bei endlich vielen elementen kannst du doch eine abbildung einfach definieren, indem du das bild jedes einzelnen elements angibst... - und da musst du nur versuchen, dass das dann mit der Addition + Multiplikation verträglich ist.

12.12.2006, 19:08

ArminTempsarian

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Hab das heute probiert und finde beim besten willen nicht, wíe ich da einen Isomorphismus konstruieren kann. Könnte das vielleicht jemand explizit auflösen?

@Sunwater. Was meinst du mit "verträglich mit Addition...". Was hat das ganze mit Addition zu tun? verwirrt

verwirrt

13.12.2006, 08:25

Sunwater

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sorry - ich dachte, die $\begin{eqnarray*} GL_2(\mathbb F_2) \end{eqnarray*}$ bilden eine Gruppe bzgl. der Addition...

13.12.2006, 13:13

vektorraum

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@sunwater: Das glaube ich nämlich nicht, da die Gruppe $\begin{eqnarray*} GL_n(K) \end{eqnarray*}$ im allgemeinen nich abelsch ist. Da aber die Addition von Matrizen abelsch ist, so wäre diese Aussage ja sinnlos. Es geht also wie gesagt um Multiplikation der Elemente.

13.12.2006, 13:22

20_Cent

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klar, es geht um die multiplikation.
(analog zur verknüpfung o in S_3, die ja ebenfalls nicht abelsch ist)
mfG 20

13.12.2006, 13:29

vektorraum

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@20Cent: Nochmal ne Frage zwecks der Erzeuger. Ich habe sechs Matrizen... Wenn ich jetzt die Erzeuger der $\begin{eqnarray*} GL_2(\mathbb F_2) \end{eqnarray*}$ suche, dann müssten doch die zwei Matrizen die anderen darstellen oder? Aber dann gibt es doch nicht so viele Möglichkeiten. Da fehlen doch dann zwei Matrizen... Weil Linearkombinationen sind ja schlecht möglich, weil ich habe ja nur 0 und 1???
Denkfehler?

13.12.2006, 16:56

Sunwater

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also wir haben es jetzt raus...

ich hab mich halt blöd ausgedrückt...

gemeint war es so:

angenommen dein Isomorphismus heißt f.

Dann weißt du, dass $\begin{eqnarray*} f \left ( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right ) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

was ich meinte ist, dass du jetzt die Bilder der anderen Matrizen einfach durch kombinieren rausbekommst. Du weißt, dass für f gelten muss:

$\begin{eqnarray*} f(ab) = f(a) f(b) \end{eqnarray*}$

dabei ist die Multiplikation von a*b die Matrizenmultiplikation und auf der rechten Seite die Hintereinanderausführung zweier Permutationen.

als Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f \left ( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right ) f \left ( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right ) = f \left ( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right ) \end{eqnarray*}$

wenn du das für den Rest durchspielst, dann gibt es nur eine Möglichkeit wie die Bilder der Matrizen sein könnten. Ist vielleicht nicht die eleganteste Methode, aber sie führt zum Ziel.

13.12.2006, 18:29

ArminTempsarian

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Ja schon, aber genau das ist doch das Problem. Ich hab den Isomorphismus jetzt raus. Hab da aber ewig herumprobiert und herumgeraten...

Das erste grundsätzliche Problem ist also: Wie findet man die 1:1 Entsprechung explizit ohne auf herumraten angewiesen zu sein?

Identität is klar. Dann weiß ich noch, dass ich die 3 Transpositionen auf die 3 Matrizen abbilden muss, deren Quadrat die Idenität ist, deren Inverses also sie selbst sind. Aber welche Transposition auf welche Matrix? Es kann doch beim besten willen nicht sein, dass das nur durch herumprobieren geht.

Das zweite Problem ergibt sich aus dem Ersten: Ist der gefundene Isomorphismus eindeutig bestimmt? Prima vista ist das nämlich nicht klar, wie ich meine.

Was passiert z.B. wenn ich den Isomorphismus so belasse, wie er ist, und das Bild von 2 Transpositionen vertausche? Wegen der Nicht-Kommutativität kann man dann zeigen (zumindest glaub ich das), dass das kein Isomorphismus mehr ist, aber wie ist das für abelsche Gruppen...

Fragen um Fragen...

13.12.2006, 18:48

ArminTempsarian

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@Vektorraum

Ich kenn mich leider auf diesem Gebiet nicht besonders gut aus. Trotzdem: Auf die Gefahr hin, mich lächerlich zu machen: Aber wenn mit "Erzeuger" gemeint ist: Jene Elemente aus der Gruppe, durch die alle anderen dargestellt werden können; dann muss doch die Antwort bzgl. S_3 lauten: Die 3 Transpositionen, denn jede Permutation ist durch Komposition von Transpositionen darstellbar! Analog für GL_2(F_2), die 3 Matrizen, deren Inverses sie selbst sind. Oder etwa nicht?

13.12.2006, 21:24

vektorraum

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@Armin:
Die Frage habe ich mir auch gestellt - aber 20Cent hatte ja ganz andere Erzeuger angegeben. Deshalb war ich da ein bisschen festgefahren. Klar, anscheindend werden die Gruppen durch drei Elemente erzeugt... Ich werde das nachher nochmal durchrechnen, muss mich noch mal kurz mit Permutationsgruppen beschäftigen - ist schon wieder ne Weile her! Wie hast du deinen Iso angegeben? Elementweise oder als explizite Abbildungsvorschrift?

13.12.2006, 22:54

ArminTempsarian

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Na ja, man kann die Matrizen und Permutationen so indizieren, dass man eine explizite Abbildungsvorschrift angeben kann. Dazu muss man vorher aber die Matrizen und Permutationen "richtig" indizieren.

Also einfach:

$\begin{eqnarray*} f(\pi_{k}) = A_{k} \end{eqnarray*}$

oder so.

EDIT: Falls "Erzeuger" das sind, wofür ich sie halte (im wesentlichen eine Teilmenge, durch dessen Elemente ich alle anderen ausdrücken kann), bin ich mir mittlerweile ziemlich sicher, dass es die Erzeuger, wie suggeriert wurde, nicht gibt.

noch ein EDIT: Was spielt das überhaupt für eine Rolle? Ich kenn mich da nicht so aus. verwirrt

verwirrt

14.12.2006, 18:28

vektorraum

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Hi!

Ich habe mittlerweile durch rumprobieren eine Abbildungsvorschrfit gefunden. Man kann sich die Elemente der beiden Gruppen einfach mal her nehmen und dann versuchen herauszubekommen, welches Element der einen Gruppe auf die andere abgebildet wird. Für id ist das ja noch einfach Augenzwinkern

Augenzwinkern

, also bleiben nur noch 5. Und das habe ich dann auch gemacht... Wie das über die Erzeuger geht, würde mich trotzdem mal interessieren, mal sehen was mein Übungsleiter dazu sagt...

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