Äquivalenz von Normen in [latex]\mathbb{R}^{n}[/latex]

20.05.2011, 18:37

MatheMathosi

Äquivalenz von Normen in [latex]\mathbb{R}^{n}[/latex]

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ alle Normen äquivalent sind. Gehen Sie dabei wie folgt vor: Es bezeichne $\begin{eqnarray*} ||x||_{1}:=|x_1 | +...+| x_n | \end{eqnarray*}$ die 1-Norm auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{n} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} ||\cdot|| \end{eqnarray*}$ eine beliebige Norm auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{n} \end{eqnarray*}$ . Zeigen sie:

1. Es gibt eine Zahl M > 0, so dass für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^{n} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} ||x|| \leq M \cdot ||x||_1 \end{eqnarray*}$ .

Hinweis: Stellen Sie x in der kanonischen Basis dar.

Meine Ideen:
Wenn ich nun x in der kanonischen Basis darstelle komme ich auf

$\begin{eqnarray*} ||x||=||\begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \\ . \\ . \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ . \\ . \\ 0 \\ x_n \end{pmatrix}|| \leq ||\begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \\ . \\ . \\ 0 \end{pmatrix}||+...+||\begin{pmatrix} 0 \\ . \\ . \\ 0 \\ x_n \end{pmatrix}||= |x_1|\cdot||\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ . \\ . \\ 0 \end{pmatrix}||+...+|x_n|\cdot ||\begin{pmatrix} 0 \\ . \\ . \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}||\leq M \cdot (|x_1|+...+|x_n|) = M \cdot ||x||_1 \end{eqnarray*}$

wobei M > 1 sein muss. ist das so korrekt ???
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Habe mir gerade überlegt, dass das doch schon für M > 0 gelten müsste, da die Norm eines Vektors der Kanonischen Basis ja 1 für eine beliebige Norm ist oder nicht ?

Und da der obige Term ja schon mit der dreiecksungleichung nach oben abgeschätzt wurde müsste das ja langen.
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Das mit dem M>0 ist natürlich nicht richtig Hammer

Aber für M > 1 muss das doch gelten.

Bitte um Hilfe

edit: Habe 3 Beiträge zu einem zusammengefügt. Die Chance auf Hilfe ist größer, wenn nicht schon 2 scheinbare Antworten dort stehen.
Bitte nutze in diesen Fällen auch selbst die Edit-Funktion.
LG sulo

oh ok Danke !

20.05.2011, 22:27

Mazze

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Die Norm der Kanonischen Einheitsvektoren ist nicht 1 für jede Norm. Ist ||x|| eine Norm, dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda ||x|| \end{eqnarray*}$ für Lambda > 0 ebenfalls eine Norm. Und für geeignetes Lambda ist dann die Norm der Einheitsvektoren nicht 1.

Aber : Die Norm sämtlicher Einheitsvektoren ist die gleiche. Und da kriegst Du dann dein M her Augenzwinkern

21.05.2011, 00:40

MatheMathosi

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ok ! d.h. ich wähle M:= C, wobei C = die Norm eines Kanonischen Basisvektors ist und bin fertig.

Richtig ?

21.05.2011, 10:30

Mazze

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Ja, so siehts aus. Das ist natürlich nur der erste Teil des Beweises.

21.05.2011, 16:27

MatheMathosi

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Ja ok vielen Dank ! Also der nächste Aufgabenteil lautet wie folgt:

2. Die Funktion

$\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}^n,||\cdot||_1) \rightarrow \mathbb{R}, \ x \rightarrow ||x|| \end{eqnarray*}$

ist stetig, und die Menge

$\begin{eqnarray*} S:= \left\{x \in \mathbb{R}^n : ||x||_1 = 1 \right\} \end{eqnarray*}$

ist kompakt bzgl. $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_1 \end{eqnarray*}$

3. Es gibt eine Zahl m > 0, so dass für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^n gilt : m \cdot ||x||_1 \leq ||x|| \end{eqnarray*}$

Bei 2. hab ich keine Idee...Bei 3. könnte ich m doch einfach kleiner 1 wählen oder nicht ?

22.05.2011, 15:35

Mazze

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zu 2.: Welche Kriterien für Kompaktheit in endlichdimensionalen Vektorräumen kennst Du ?

23.05.2011, 07:37

MatheMathosi

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Sei $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum und $\begin{eqnarray*} A \subseteq X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \subseteq X \end{eqnarray*}$ heißt kompakt, falls jede offene Überdeckung $\begin{eqnarray*} (V_i)_{ i \in I} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

B Kompakt:

$\begin{eqnarray*} B \subseteq \bigcup\limits_{i \in I} V_i \ \Rightarrow \ B \subseteq \bigcup\limits_{i \in I}^{n} \end{eqnarray*}$

Ok nun würde ich sagen sei $\begin{eqnarray*} (V_i)_{ i \in I} \end{eqnarray*}$ offen und

$\begin{eqnarray*} S \subseteq \bigcup\limits_{i \in I} V_i \ \ (S:=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} : ||x||_1 = 1\right\} \end{eqnarray*}$

Nun müsste ich zeigen, dass alle elemente von S schon in einer endlichen Teilüberdeckung von den $\begin{eqnarray*} (V_i) \end{eqnarray*}$ liegen. Das ist mir aber nicht ganz klar, da es doch in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ unendlich viele Vektoren mit Norm 1 gibt oder nicht ?

PS: Satz von Heine Borel : A ist abgeschlossen und beschränkt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ A ist kompakt
Beschränkt wäre die Menge S ja, da alle Normen niht größer als 1 sind. Aber abgeschlossen ?

23.05.2011, 09:18

Mazze

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Zitat:

PS: Satz von Heine Borel : A ist abgeschlossen und beschränkt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ A ist kompakt Beschränkt wäre die Menge S ja, da alle Normen niht größer als 1 sind. Aber abgeschlossen ?

Abgeschlossenheit ist natürlich zu zeigen, aber dass ist nicht schwer.

23.05.2011, 09:26

MatheMathosi

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Ok also zeige ich das mit dem Satz von Heine Borel ! Kannst du mir bitte einen Tipp geben, habe hier keine Idee wie ich Abgeschlossenheit zeigen soll.

23.05.2011, 10:20

Mazze

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Zeige, dass das Komplement $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \setminus S \end{eqnarray*}$ offen ist. Betrachte dazu die Fälle $\begin{eqnarray*} x \in S \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|x\| < 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|x\| > 1 \end{eqnarray*}$

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