Volumen eines schief abgeschnittenen Zylinders

10.12.2006, 21:35	Jule83	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen eines schief abgeschnittenen Zylinders Wir haben die folgende Aufgabe zu lösen: Der Zylinder mit der elliptischen Grundfläche $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1 \quad (a,b > 0) \end{eqnarray}$ stehe senkrecht auf der x-y Ebene und werde durch die Ebene $\begin{eqnarray} z = \alpha x + \beta y + \gamma \end{eqnarray}$ abgeschnitten. Wie groß ist das Volumen des entstehenden Körpers? Wir sind gerade bei mehrdimensionaler Integration - also dürfen wir das nicht mit irgendeinem Trick berechnen. Also eigentlich muß ich doch folgendes Integral berechnen: $\begin{eqnarray} \int_B (\alpha x + \beta x + \gamma) d(x,y) \end{eqnarray}$ wobei der Bereich B gerade die Ellipse ist. Also war mein Ansatz: $\begin{eqnarray} \int_B f(x,y) d(x,y) = \int_{-1}^1 \int_{0}^{\sqrt{b-\frac{bx^2}{a^2}}} f(x,y) dy dx + \int_{-1}^1 \int_{- \sqrt{b-\frac{bx^2}{a^2}}}^{0} f(x,y) dy dx \end{eqnarray}$ Aber schon beim ersten Integral (nach dy) bekomme ich ein ziemlich häßliches Ergebnis sodaß ich mich frage, ob der Ansatz überhaupt stimmt? (Normalerweise kommen bei Übungsaufgaben ja (fast) immer wunderbar glatte Werte heraus )
10.12.2006, 22:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Integrationsgrenzen stimmen nicht. Es muß $\begin{eqnarray} \int_B~\left( \alpha x + \beta y + \gamma \right)~\mathrm{d}(x,y) \ = \ \int_{-a}^a~\left( \int_{-b \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}}^{b \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}}~\left( \alpha x + \beta y + \gamma \right)~\mathrm{d}y \right)~\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ heißen. Beim Integrieren mußt du nicht bei jedem Summanden des Integranden explizit eine Stammfunktion bestimmen. So ist z.B. von vorneherein klar, daß Integrale der Art $\begin{eqnarray} \int_{-c}^c~t~\mathrm{d}t \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \int_{-c}^c~t \, \sqrt{1 - t^2}~\mathrm{d}t \end{eqnarray}$ Null sind, einfach weil der Integrand eine ungerade Funktion ist und die Integrationsgrenzen symmetrisch zu 0 liegen. Dann ist die Rechnung auch nur noch halb so schlimm.
10.12.2006, 23:11	Jule83	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja, beim äußeren Integral habe ich vergessen, dass wir ja eine Ellipse und keinen Kreis haben. (Das b statt b^2 war nur ein Abtippfehler). Als ich das Integral in meinem ersten Versuch aufgeteilt habe ist mir nicht aufgefallen, dass sich der eine Summand wegkürzt. Ich komme jetzt auf $\begin{eqnarray} V = ab \gamma \pi \end{eqnarray}$ für das Volumen. Hast du das auch? Danke

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