exakte, geschlossene Pfaffsche Formen

21.05.2011, 12:23

Gast11022013

exakte, geschlossene Pfaffsche Formen

Meine Frage:
Welche der folgenden Pfaffschen Formen sind geschlossen, welche exakt (bei welchen Definitionsgebieten)?

$\begin{eqnarray*} \omega_1:=x dx+xz dy+xy dz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \omega_2:=y dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \omega_3:=(3x^2-2y)dx+2(y-x)dy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \omega_4:=(2x+3y)dx+(3x+2z)dy+2(y+4z)dz \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie gegebenenfalls Stammfunktionen.

Meine Ideen:
Was ich weiß, ist Folgendes:

Geschlossenheit:
Die Form $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ heißt geschlossen, falls

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_i}{\partial x_j}=\frac{\partial f_j}{\partial x_i} \forall i,j \end{eqnarray*}$

Exaktheit:
Das bedeutet, dass es eine Stammfunktion gibt.

Da ist die Geschlossenheit eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung. Unter zusätzlichen Bedingungen über den Definitionsbereich ist die Geschlossenheit aber auch hinreichende Bedingung für die Existenz einer Stammfunktion.

Ich habe aber so meine Probleme, das alles nachzuweisen bzw. auszurechnen.

Zu $\begin{eqnarray*} \omega_1 \end{eqnarray*}$ :

Hier ist doch

$\begin{eqnarray*} f_1=x, f_2=xz, f_3=xy \end{eqnarray*}$

Und jetzt zur Geschlossenheit.
Ich muss doch für
(1) i=1,j=2
(2) i=1, j=3
(3) i=2, j=3

ausrechnen, ob $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_i}{\partial x_j}=\frac{\partial f_j}{\partial x_i} \end{eqnarray*}$ gilt:

(1) i=1,j=2:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_1}{\partial x_2}=\frac{\partial x}{\partial y}=0\neq z=\frac{\partial xz}{\partial x}=\frac{\partial f_2}{\partial x_1} \end{eqnarray*}$

Meiner Ansicht nach ist diese Pfaffsche Form also nicht geschlossen und daher auch nicht exakt.

Sehe ich das korrekt?

Edit:

Zu $\begin{eqnarray*} \omega_3 \end{eqnarray*}$ :

Hier ist $\begin{eqnarray*} f_1=3x^2-2y, f_2=2(x-y) \end{eqnarray*}$ und für i=1,j=2 gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial 3x^2-2y}{\partial y}=-2=\frac{\partial 2(y-x)}{\partial x} \end{eqnarray*}$

Diese Pfaffsche Form ist also schonmal geschlossen.
Doch ist sie auch exakt?

[Die Stammfunktion habe ich schon ermittelt, die ist $\begin{eqnarray*} x^3-2xy+y^2 \end{eqnarray*}$ , daher muss $\begin{eqnarray*} \omega_3 \end{eqnarray*}$ ja exakt sein. Aber wie zeigt man das unabhängig davon, dass man die Stammfunktion bestimmt und auf welchem Definitionsgebiet ist $\begin{eqnarray*} \omega_3 \end{eqnarray*}$ exakt?]

Ich habe gelesen, dass ein Standardtrick dabei immer ist, dass man die jeweilige Pfaffsche Form probeweise über eine geschlossene Kurve integriert: Wenn dabei nicht 0 herauskommt, ist die Pfaffsche Form nicht exakt.

Welche geschlossene Kurve würde sich aber hier für $\begin{eqnarray*} \omega_3 \end{eqnarray*}$ anbieten?

23.05.2011, 07:16

Leopold

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RE: exakte, geschlossene Pfaffsche Formen

Zitat:

Original von Dennis2010
Geschlossenheit:
Die Form $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ heißt geschlossen, falls

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_i}{\partial x_j}=\frac{\partial f_j}{\partial x_i} \forall i,j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall \, i,j \ \text{?} \end{eqnarray*}$

Bitte präziser ausdrücken!

Zitat:

Original von Dennis2010
Welche geschlossene Kurve würde sich aber hier für $\begin{eqnarray*} \omega_3 \end{eqnarray*}$ anbieten?

Keine, denn $\begin{eqnarray*} \omega_3 \end{eqnarray*}$ ist ja exakt!

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