Irrationale Zahlen in [0,1]

21.05.2011, 16:41	Kurvenliebhaber	Auf diesen Beitrag antworten »
Irrationale Zahlen in [0,1] Hey, ich soll zeigen, dass sich die Menge J der irrationalen Zahlen im Intervall [0,1] nicht als abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen darstellen lässt. Meine Idee war der Baire'sche Kategoriensatz, aber der geht ja nur bei Banach-Räumen Wie kann ich da sonst rangehen?
21.05.2011, 18:38	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Deine Idee mit dem Baire'schen Kategoriensatz ist gut. Nimm' doch mal an, dass die Aussage falsch wäre. Sei also $\begin{eqnarray} [0,1]\setminus \mathbb Q = \bigcup_{n = 1}^\infty K_n \end{eqnarray}$ abzählbare Vereinigung von in $\begin{eqnarray} [0,1]\setminus \mathbb Q \end{eqnarray}$ abgeschlossenen Mengen $\begin{eqnarray} K_n \end{eqnarray}$ . Zeige, dass dann auch $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ als abzählbare Vereinigung von abgeschlossenen Mengen $\begin{eqnarray} K_n'\subset [0,1] \end{eqnarray}$ geschrieben werden kann. Das ist jedoch nun ein Widerspruch, da $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ Baire'sch ist.
23.05.2011, 13:16	Kurvenliebhaber	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey vielen Dank für den Tipp Damit hab ich es jetzt geschafft: Da Q abzählbar ist, finde ich für die rationalen Zahlen in [0,1] eine triviale abz. Überdeckung abgeschlossener Mengen - und damit auch für ganz [0,1]. Dann den Kategoriensatz anwenden, der mir die Existenz einer offenen Kugel gibt. Diese offene Kugel kann nicht in einer der Punkt-Mengen liegen, mit denen ich die rat. Punkte im Intervall überdeckt habe. Da aber Q dicht in R liegt, können sie auch nicht in der anderen liegen Danke
23.05.2011, 13:51	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »

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