Integralberechnung mit Cauchy'scher Integralformel

21.05.2011, 16:58

StAnger_

Integralberechnung mit Cauchy'scher Integralformel

Hallo, folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} C_{r} (a) \end{eqnarray*}$ die positiv durchlaufene Kreislinie von Radius $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb R _{>0} \end{eqnarray*}$ um den Punkt $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , d. h. die durch die folgende Gleichung gegebene Kurve: $\begin{eqnarray*} [0,1] \to \mathbb C, t \mapsto a+re^{2\pi it} \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe des Cauchy'schen Integralsatzes und der (verallgemeinerten) Cauchy'schen Integralformel:

c) $\begin{eqnarray*} \int_{C_{\frac {3} {2}} (1) } \ \! \frac {1} {z^{4}+1} \, dz \end{eqnarray*}$

Ich komme hier nicht wirklich weiter. Also ich denke, dass man für die Lösung die Integralformel braucht. Nur steht das Integral ja wegen dem $\begin{eqnarray*} z^{4} \end{eqnarray*}$ nicht ganz in gewünschter Form da. Habe versucht eine Partialbruchzerlegung zu machen um dann 4 Integrale in gewünschter Form zu haben, aber als die Terme endlos lang wurden hab ich da dann abgebrochen. Was ist hier die richtige Strategie???

22.05.2011, 20:40

StAnger_

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RE: Integralberechnung mit Cauchy'scher Integralformel
Hat denn nicht mal jemand einen Ansatz? Ich müsste das bis morgen fertig haben und komm echt nich drauf.

22.05.2011, 20:46

Leopold

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Das geht mit Partialbruchzerlegung. Ist $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ die vierte Wurzel von $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ im I. Quadranten, also

$\begin{eqnarray*} \eta = \operatorname{e}^{\frac{\operatorname{i} \pi}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \left( 1 + \operatorname{i} \right) \end{eqnarray*}$

so sind $\begin{eqnarray*} \eta, \operatorname{i} \eta, - \eta, - \operatorname{i} \eta \end{eqnarray*}$ die sämtlichen vierten Wurzeln von $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ , und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^4 + 1} = \frac{1}{4 \operatorname{i} \eta} \left( \frac{1}{z - \eta} - \frac{1}{z + \eta} \right) + \frac{1}{4 \eta} \left( \frac{1}{z - \operatorname{i} \eta} - \frac{1}{z + \operatorname{i} \eta} \right) \end{eqnarray*}$

22.05.2011, 21:30

StAnger_

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Vielen Dank!

22.05.2011, 21:40

Leopold

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Den Wert des Integrals kann man auch direkt ablesen. Man zerlegt dazu den Integrationsweg in den oberen bzw. unteren Halbkreis mit den Parameterdarstellungen (plus für oben, minus für unten)

$\begin{eqnarray*} z = \pm \frac{3}{2} \operatorname{e}^{\operatorname{i} t} \, , \ 0 \leq t \leq \pi \end{eqnarray*}$

Ohne die Integrale wirklich ausrechnen zu müssen, ist sofort alles klar.

22.05.2011, 22:15

StAnger_

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Heißt das, ich müsste am Ende 0 rausbekommen?

23.05.2011, 00:15

jester.

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Ich glaube, dass Leopold irrtümlich einen Kreis um die Null angenommen hat. Ich erhalte (mit dem Residuensatz, damit geht es etwas leichter) als Wert des Integrals über den Kreis um die 1:
$\begin{eqnarray*} \int_{\partial K_{3/2}(1)} \frac{\dd z}{z^4+1} = -i\pi \frac {\sqrt{2}}{ 2} \end{eqnarray*}$

23.05.2011, 06:48

Leopold

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Zitat:

Original von jester.
Ich glaube, dass Leopold irrtümlich einen Kreis um die Null angenommen hat ...

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