konservatives Feld

21.05.2011, 19:50

Gast11022013

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konservatives Feld

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} (f_1,f_2) \end{eqnarray*}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2\backslash\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ , welches die Integrabilitätsbedingung $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{\partial f_2}{\partial x} \end{eqnarray*}$ erfüllt. Zeigen Sie, dass es eine reelle Zahl c gibt, sodass das Vektorfeld

$\begin{eqnarray*} \left(f_1(x,y)-c\frac{y}{x^2+y^2},f_2(x,y)+c\frac{x}{x^2+y^2}\right) \end{eqnarray*}$

konservativ ist.

Meine Ideen:

Damit dieses Vektorfeld g(a,b) konservativ ist, wobei a der erste Eintrag und b der zweite Eintrag sei, müsste doch

rot(g)=0 gelten. Oder?

Um jetzt rot(g) aufzustellen, müsste man ja das Kreuzprodukt von zwei zweidimensionalen Vektoren berechnen, was meines Wissens so nicht geht. Könnte man in jeden der beiden Vektoren einen Eintrag 0 ergänzen und dann das Kreuzprodult für zwei dreidimensionale Vektoren berechnen?

Dann wäre nur der dritte Eintrag von rot(g) ungleich Null.
Diesen könnte man jetzt vielleicht gleich 0 setzen und darüber das c bestimmen (c so wählen, dass auch der dritte Eintrag von rot(g) dann Nul ist).

Das wäre so meine Idee.

21.05.2011, 22:58

Gast11022013

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RE: konservatives Feld
Kann mir jemand sagen, wie ich dir Aufgabe lösen kann?...

Mit meinem Ansatz (s.o.) komme ich nur auf c=0
aber das ist glaube ich kaum das Ergebnis...

Edit:

Wäre wirklich nett, wenn mir jemand helfen könnte.

Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.05.2011, 00:33

Gast11022013

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RE: konservatives Feld
Ich muss doch für das Vektorfeld rot ausrechnen bzw. aufstellen und dann gleich 0 setzen um an das c zu kommen oder?

Aber wie bildet man für das Vektorfeld das rot?

(Ist ja nur zweidimensional... und ich kenne Kreuzprodukt nur für dreidimensional)

Wie würdest ihr vorgehen?? Auch über rot? Oder nen anderer Weg?

Sorry fürs Pushen, aber die Aufgabe ist echt sehr wichtig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.05.2011, 02:46

IfindU

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RE: konservatives Feld
http://de.wikipedia.org/wiki/Konservative_Kraft

Hab noch nie mit Vektorfeldern gearbeitet, aber Wikipedia kennt als 4. äquvialente Aussage dort, dass für einfach-zusammenhänge Gebiete, R^2\{0} ist so eins, es ausreicht alle Komponenten nach jeder Variable abzuleiten - und das soll immer die gleiche Zahl sein.
Kann sein, dass es jetzt das falsche ist, aber scheint sich mit deinen Äußerungen zu decken.

Edit: Zu später Stunde nicht mehr genau gelesen - nicht jede Ableitung muss übereinstimmen. Das irritierende ist, dass das bei dir schon gegeben ist...

22.05.2011, 03:57

Rmn

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Zitat:

Integrabilitätsbedingung $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{\partial f_2}{\partial x} \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Das ist dieselbe Bedingung in 2dim Fall, wie rot(F)=0 in 3dim.

22.05.2011, 10:36

Gast11022013

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Zitat:

Original von Rmn

Zitat:

Integrabilitätsbedingung $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{\partial f_2}{\partial x} \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Das ist dieselbe Bedingung in 2dim Fall, wie rot(F)=0 in 3dim.

Was soll mir das sagen? verwirrt

verwirrt

bzw. wie hilft mir das?

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22.05.2011, 17:41

Rmn

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Sieh dazu das Link von IfinU.

22.05.2011, 17:47

Gast11022013

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Ich bedanke mich natürlich für die Reaktionen.

Aber in dieser Form ist das leider keine Hilfe für mich.

Wikipedia-Artikel lese ich mir natürlich vorher durch - bevor ich meine Fragen stelle.

Wenn ich hier frage, so war das dann keine Hilfe für mich.

Was ich bräuchte, das wäre eine konkrete "Anleitung", wie ich diese Aufgabe lösen kann.

22.05.2011, 18:00

MI

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Was Rmn sagen möchte:

rot(F)=0 kannst du nicht zeigen - weil das die Bedingung für drei Dimensionen ist.

Das Analogon in zwei Dimensionen ist
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{\partial f_2}{\partial x} \end{eqnarray*}$

Was musst du also zeigen? Du musst (wahrscheinlich - du musst uns schon eure Definition von "konservatives Feld" geben) die Existenz eines Skalarfeldes zeigen, dessen Gradient dein Vektorfeld ist - du musst also zeigen, dass du die Gleichung integrieren kannst.
Deswegen nennt sich deine Bedingung auch "Integrabilitätsbedingung".

Im Grunde genügt es also, irgendwie an solch ein Feld zu kommen und dann zu zeigen, dass dieses die Bedingungen erfüllt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Gruß
MI

22.05.2011, 18:19

Gast11022013

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Vielen Dank!

Ich versuche das nochmal in meine eigenen Worte zu übersetzen:

Ich soll doch zeigen, dass obiges Vektorfeld konservativ ist (für eine noch zu bestimmende reelle Zahl c).

[Konservativ hatten wir in der Vorlesung ein Vektorfeld dann genannt, wenn es dafür eine Stammfunktion bzw. einen Gradienten gibt.]

Das bedeutet, es gibt ein Vektorfeld, für das man eine Stammfunktion (Gradient) finden kann und diese Stammfunktion (Gradient) ist gerade das obige Vektorfeld.

Okay, ich denke, das habe ich soweit verstanden.

Nur wie ich das jetzt zeige, hat sich mir leider noch nicht ganz erschlossen...

Edit:

1.) Zeigen, dass für obiges Vektorfeld die Integrabilitätsbedingung gilt.
2.) Versuchen, eine Stammfunktion zu finden.

So?

22.05.2011, 19:43

Huggy

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Mir ist nicht klar, ob die diversen Helfer eine klare Vorstellung von der Lösung der Aufgabe haben oder nur im Nebel herumstochern. Ich habe die Lösung noch nicht, versuche aber doch, etwas mehr Struktur in die Diskussion zu bringen.

(1) Das erweiterte Kraftfeld lässt sich schreiben als $\begin{eqnarray*} (h_1, h_2)=(f_1+g_1, f_2+g_2) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} g_1=-c\frac{y}{x^2+y^2}, \quad g_2=c\frac{x}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

(2) f erfüllt die Integrabiltätsbedingung laut Aufgabe. Man rechnet leicht nach, dass auch g die Integrabilitätsbedingung erfüllt. Damit erfüllt auch das Gesamtfeld h die Integrabilitätsbedingung.

Das beweist aber noch nicht Existenz eines Potentials, weil das Gebiet $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash \{0\} \end{eqnarray*}$ entgegen der Meinung von IfindU kein einfach zusammenhängendes Gebiet ist.

(3) g allein ist nicht konservativ. Das wird in dem Link von IfindU explizit vorgerechnet. Daher kann das Feld f allein auch nicht konservativ sein, es sei dann für c = 0. Aber bei c = 0 lässt sich nicht beweisen, dass f konservativ ist.

(4) Damit also h konservativ ist, müssen sich die Beiträge von und g bei Integration über einen geschlossen Weg um den Ursprung gerade kompensieren. Gibt es einen Satz, der zu schließen gestattet, dass man das bei geeignetem c erreichen kann?

(5) Die Idee, einfach ein Potential anzugeben ist gut, wenn man wüsste, woher man es bekommt.

22.05.2011, 20:52

MI

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Du hast Recht, "einfach" ein Potential angeben ist nicht drin, weil man einfach zu wenig über f weiß.

Wenn ich mir das aber so recht überlege, dann sollte es ähnlich wie in der Funktionentheorie gehen:

In dem Link (z.B.) wird auch vorgerrechnet, was das Integral über den Einheitskreis ist. Da im Kraftfeld ein $\begin{eqnarray*} 1/r^2 \end{eqnarray*}$ im Nenner steht, sollte, wenn ich mich nicht verrechne, jedes Integral über einen beliebigen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung gerade die Konstante $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ergeben.
OBdA müsste es möglich sein anzunehmen, dass jede geschlsosene Kurve um den Ursprung ein Kreis ist (ansonsten verformt man die Kurve - ich denke da an Konstruktionen wie in der Funktionentheorie).
Jetzt kann man ja sagen, ok, dasselbe geht auf jeden Fall auch für f. Wir setzen jetzt das Integral über den Einheitskreis $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{S}^1}(f_1,f_2)^{tr}ds=\frac{1}{2\pi c} \end{eqnarray*}$ .
Naja, aber mit ähnlichen Konstruktionen wie in meinem oBdA kann ich jeden Kreis beliebig vergrößern...

Heißt: Das "oBdA" ist der entscheidende Schritt (blöd von mir formuliert) - hier müsste man das ein bisschen begründen, aber der Punkt ist natürlich, dass jedes Integral über jede geschlossene Kurve, bei der der Mittelpunkt NICHT in der beschränkten Komponente liegt, verschwindet.

Gruß
MI

22.05.2011, 21:04

Huggy

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So in etwa habe ich mir das auch gedacht. Da der saubere Beweis, dass jedes Feld f, dass in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash \{0\} \end{eqnarray*}$ die Integrabilitätsbedingung erfüllt, integriert über einen geschlossenen Weg um den Ursprung unabhängig vom Weg immer denselben Wert ergibt, doch etwas Zeichenarbeit und Detailargumentation erfordert, vermute ich, dass so was schon in der Vorlesung bewiesen wurde und benutzt werden kann. Und dazu ist natürlich der Fragesteller gefragt.

22.05.2011, 21:11

MI

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Ah okay, dann hatte ich dich falsch verstanden unglücklich

unglücklich

. Ich war irgendwie der Meinung gewesen, dass du selbst nicht ganz wüsstest, wie da vorzugehen ist (und hatte mich schon gewundert).

Aber du hast Recht, wenn ich mir das Gefummel da überlege, würde ich auch davon ausgehen, dass da irgendetwas in der Vorlesung war...

Gruß
MI

22.05.2011, 21:11

Gast11022013

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Ich würde gerne helfen, ich verstehe aber - um ehrlich zu sein - nur noch Bahnhof.

Es ist toll, wie ihr hier schreibt und helfen wollt, aber das ist mir ein paar Nummern zu hoch. Leider.

22.05.2011, 21:15

Huggy

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Zitat:

Original von MI
Ah okay, dann hatte ich dich falsch verstanden unglücklich

unglücklich

. Ich war irgendwie der Meinung gewesen, dass du selbst nicht ganz wüsstest, wie da vorzugehen ist (und hatte mich schon gewundert).

Ja, da hatte ich mich missverständlich ausgedrückt. Das sollte nur heißen, ich habe die Idee, aber keine detaillierte Ausarbeitung.

22.05.2011, 21:17

Huggy

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Zitat:

Original von Dennis2010
Ich würde gerne helfen, ich verstehe aber - um ehrlich zu sein - nur noch Bahnhof.

Es ist toll, wie ihr hier schreibt und helfen wollt, aber das ist mir ein paar Nummern zu hoch. Leider.

Das ist betrüblich!
Wenn man solche Aufgaben bekommt, wurden auch die Grundlagen dafür in der Vorlesung abgehandelt.

22.05.2011, 21:19

MI

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Zitat:

Original von Huggy
Ja, da hatte ich mich missverständlich ausgedrückt. Das sollte nur heißen, ich habe die Idee, aber keine detaillierte Ausarbeitung.

Okay, dann sind wir auf demselben Level, wie erkennbar ist Big Laugh

Big Laugh

. Eine Ausarbeitung würde ich auch nicht nochmal machen wollen...

@Dennis:
Der Punkt ist folgender:
Für ein Feld, dass in IR ohne Null die Integrabilitätsbedingung erfüllt gilt: Das Integral über jede den Ursprung enthaltende geschlossene Kurve ist konstant.
Mache dir klar, warum du genau das beweisen musst (dazu gehe die Schritte von Huggy durch und danach den ersten Teil von dem, was ich geschrieben habe).

Jetzt ist die Frage, ob ihr so etwas bewiesen habt. Wenn nicht - dann musst du das noch beweisen und das wird, wenn man's sauber macht, einigermaßen hässlich. Die Grundidee habe ich andeutungsweise skizziert.

Gruß
MI

22.05.2011, 21:24

Gast11022013

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Die Aufgabe kann aber eigentlich so schwer nicht sein.
Auf dem Aufgabenblatt ist sie mit 4 Punkten bewertet und das bedeutet i.d.R., dass es sich um eine einigermaßen machbare Aufgabe handelt.

Wie gesagt, ich würde gerne beisteuern, ob dieses oder jenes, was man für den Beweis braucht in der Vorlesung gemacht/ bewiesen wurde.

Ich erkenne ja aber noch nichtmal, WAS man braucht.
Also kann ich auch nicht sagen, ob es bewiesen wurde.

22.05.2011, 21:36

Huggy

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Der Satz, den man braucht, ist von MI doch klar genannt worden. Mit ihm ist die Sache ein 3-Zeiler.

Was erwartest du eigentlich von Helfern bei deiner Haltung, es kann nicht so schwer sein, aber ich habe Null Ahnung?

22.05.2011, 21:39

Gast11022013

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Ein Dreizeiler?--

Es tut mir leid, ich habe den Beiträgen eben einfach nicht entnehmen können, was man für den Beweis braucht.

Ich meinte es gar nicht unfreundlich oder so.

Edit:

Es ist wohl dieser Satz gemeint:

Für ein Feld, dass in IR ohne Null die Integrabilitätsbedingung erfüllt gilt: Das Integral über jede den Ursprung enthaltende geschlossene Kurve ist konstant.

22.05.2011, 21:47

Huggy

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Es geht nicht um freundlich oder unfreundlich. Da musst du dir nichts vorwerfen.

Mir stellt sich einfach die Frage, ob du grundsätzlich in der Lage bist, solche Aufgaben zu bearbeiten? Das ist nicht böse gemeint. Aber diese Frage musst du dir ernsthaft selber stellen. Du hast ja auch schon in einem anderen Thread meinen Blutdruck durch totales Unverständnis in ungeahnte Höhen getrieben.

Wenn man gar nichts versteht, sind auch die Helfer machtlos.

22.05.2011, 21:58

Gast11022013

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Diese Frage stelle ich mir nur allzu oft
Ich denke, dass ich in den allermeisten Fällen nicht dazu in der Lage bin.

Das liegt zu einem Teil daran, dass ich einfach nicht sonderlich begabt bin, zum anderen Teil daran, dass die Hilfestellungen, die mir gegeben werden, manchmal nicht konkret genug für mich formuliert sind.

Eure Diskussion da eben zum Beispiel ist für einen Laien wie mich einfach unverständlich. Das ist jetzt von mir nicht böse gemeint.

Ich habe zum Beispiel hier einfach Probleme, den Zusammenhang zu sehen zwischen dem Satz, der anscheinend für diesen Beweis nötig ist und der Aufgabe.

Es ist mir auch neu, dass man nicht einfach ein Potenzial finden kann, wenn der Definitionsbereich nicht einfach zusammenhängend ist.

Kurz: Ich bin hier maßlos überfordert, obwohl ich denke, dass ich es eigentlich verstehen könnte.

Manchmal kommt es mir so vor, als wenn es bei mir an Nebensächlichkeiten scheitert. Es ist leider zum Verrücktwerden.

22.05.2011, 22:11

MI

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Aber genau den Zusammenhang zwischen dem Satz (den Huggy im Grunde auch schon formuliert hat) und deinem Problem haben wir doch oben aufgeführt. Du musst das nur für dich Schritt für Schritt durchgehen - und das ist denke ich das, was Huggy nicht nachvollziehen kann.

Konkret:

Zitat:

Original von Huggy
(1) Das erweiterte Kraftfeld lässt sich schreiben als $\begin{eqnarray*} (h_1, h_2)=(f_1+g_1, f_2+g_2) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} g_1=-c\frac{y}{x^2+y^2}, \quad g_2=c\frac{x}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

(2) f erfüllt die Integrabiltätsbedingung laut Aufgabe. Man rechnet leicht nach, dass auch g die Integrabilitätsbedingung erfüllt. Damit erfüllt auch das Gesamtfeld h die Integrabilitätsbedingung.

(3) g allein ist nicht konservativ. Das wird in dem Link von IfindU explizit vorgerechnet. [Anmerkung meinerseits: Und daher kann man eben kein Potential finden, wird da vorgerechnet] Daher kann das Feld f allein auch nicht konservativ sein, es sei dann für c = 0. Aber bei c = 0 lässt sich nicht beweisen, dass f konservativ ist.

(4) Damit also h konservativ ist, müssen sich die Beiträge von und g bei Integration über einen geschlossen Weg um den Ursprung gerade kompensieren.

Was, wenn du jetzt wüsstest, dass Integrale über einen geschlossenen Weg um den Ursprung über solche Funktionen, die die Integr.bed. erfüllen, konstant sind?

Gruß
MI

22.05.2011, 22:25

Gast11022013

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Die Punkte (1)-(4) scheinen mir verständlich, einigermaßen.

Wenn ich jetzt wüsste, dass der Satz gilt, dann...

verwirrt

verwirrt

Vielleicht komm ich noch drauf.

29.07.2011, 14:53

Gast11022013

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Zitat:

Original von Huggy

(4) Damit also h konservativ ist, müssen sich die Beiträge von und g bei Integration über einen geschlossen Weg um den Ursprung gerade kompensieren. Gibt es einen Satz, der zu schließen gestattet, dass man das bei geeignetem c erreichen kann?

1.) Wieso muss es unbedingt ein geschlossener Weg um den Ursprung sein?

2.) Es gibt wohl so einen Satz: "Sei $\begin{eqnarray*} \omega=u(x,y)dx+v(x,y)dy \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbare geschlossene 1-Form in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2\backslash \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ (also $\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2\backslash\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ ). Wenn für einen Kreis $\begin{eqnarray*} K=K(0,r), r>0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \int_{\partial K}\omega=0 \end{eqnarray*}$ gilt, dann gilt $\begin{eqnarray*} \int_{\alpha}\omega=0 \end{eqnarray*}$ für jeden geschlossenen stückweise differenzierbaren Weg $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2\backslash\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ist exakt in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2\backslash\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ ."

Ich sehe - immer noch nicht - wie daraus dann "schon" die Aufgabe zu lösen ist.

29.07.2011, 17:51

Huggy

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Zitat:

Original von Dennis2010
1.) Wieso muss es unbedingt ein geschlossener Weg um den Ursprung sein?

Wenn der Ursprung nicht im Inneren des geschlossenen Weges liegt, gibt es ja kein Problem. Dann liegt der Weg in einem einfach zusammenhängenden Gebiet, in dem die Integrabilitätsbedingung gilt. Und dort gibt es daher ein Potential/Stammfunktion. Kritisch sind also nur geschlossene Wege, die um den Ursprung herumführen.

Zitat:

Ich sehe - immer noch nicht - wie daraus dann "schon" die Aufgabe zu lösen ist.

Wenn man bewiesen hätte, dass das Integral über einen geschlossenen, doppelpunktfreien Weg, in dessen Inneren der Ursprung liegt, für Funktionen, die in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \backslash \{0\} \end{eqnarray*}$ die Integrabilitätsbedingungen erfüllen, unabhängig vom Weg einen konstanten Wert hat, dann hat das Integral über die Funktion f einen Wert a und über die Funktion g einen Wert b. Durch geeignete Wahl der Konstanten c kann man b jeden beliebigen Wert geben, insbesondere kann man c so wählen, dass gilt b = -a. Und dann ist das Integral über h = f + g gleich b - a = 0. Und nach dem eben von dir zitierten Satz hat dann h in ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \backslash \{0\} \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion.

Das offene Beweisstück lässt sich mittels ein, zwei Skizzen erledigen. Aber inzwischen müsstet ihr doch längst die 'offizielle' Lösung der Aufgabe haben.

09.08.2011, 11:43

Gast11022013

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Ich muss also noch zeigen, daß das Integral über einen geschlossenen Weg, der den Nullpunkt enthält für eine Pfaffsche Form, die auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2\backslash\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ die Integrabilitätsbedingung erfüllt, konstant ist (unabhängig davon, welchen Weg man da konkret auswählt).

Es gelingt mir nicht!

09.08.2011, 14:10

Huggy

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Die Diskussion des Problems im Kalkül der Differentialformen fällt mir schwer. Den habe ich nach dem Studium nie mehr gebraucht und deshalb fühle ich mich da zu unsicher.

Betrachten wir mal 2 geschlossene Wege $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ um den Ursprung. Jetzt gibt es verschiedene Fälle zu unterscheiden. Betrachten wir mal den Fall, dass $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ ganz innerhalb von $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ liegt. Es sei $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ ein Punkt auf $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ ein Punkt auf $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ . Dann kann man sich den $\begin{eqnarray*} \mathbb {R}^2 \end{eqnarray*}$ entlang einer Kurve $\begin{eqnarray*} {0}-P_2-P_1-\infty \end{eqnarray*}$ aufgeschlitzt betrachten, wobei diese Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ nur in den Punkten $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ schneidet. Der Teil der Schnittkurve von $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} \gamma_3 \end{eqnarray*}$ genannt. Und diese Kurve denken wir uns, wie in der Funktionentheorie, mit einem rechten und linken Ufer versehen.

Jetzt integrieren wir f über folgenden Weg:

- Beginn in $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ am linken Ufer von $\begin{eqnarray*} \gamma_3 \end{eqnarray*}$
- von dort entgegen dem Uhrzeigersinn entlang $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ am rechten Ufer von $\begin{eqnarray*} \gamma_3 \end{eqnarray*}$ .
- von dort entlang des rechten Ufers von $\begin{eqnarray*} \gamma_3 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$
- von dort im Uhrzeigersinn entlang $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ am linken Ufer von $\begin{eqnarray*} \gamma_3 \end{eqnarray*}$
- von dort entlang des linken Ufers von $\begin{eqnarray*} \gamma_3 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$

Mach dir eine Skizze!

Das ist ein geschlossener Weg von $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ . Da er nie die Schnittkurve überschreitet, ist es ein Weg in einem einfach zusammenhängenden Gebiet. Da f dort die Integrabilitätsbedingung erfüllt, ist das Integral von f über diesen Weg 0. Der Weg $\begin{eqnarray*} \gamma_3 \end{eqnarray*}$ wird zweimal in umgekehrter Richtung durchlaufen. Das Integral darüber ist daher 0. Also müssen die Integrale von f über $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ gleich sein, q. e. d.

Die Fälle, bei denen sich $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ schneiden oder berühren, kann man ähnlich betrachten.

Was ist mit meiner Frage nach der 'offiziellen Lösung'?
Der Beginn de Threads war doch schon im Mai!

09.08.2011, 14:40

Gast11022013

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Danke! Die Skizze habe ich gemacht und stimmt, das ist ein geschlossener Weg von $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ . Also stimmt meine Skizze.

[Den Begriff "Ufer" kenne ich nicht, aber es ist anschaulich eigentlich auch so klar.]

Damit ist also jetzt gezeigt, daß für die Integration über $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ das Gleiche herauskommt, also das Integral über jeden geschlossenen Weg um den Ursprung immer gleich (=konstant) ist?

Edit: Die Musterlösung habe ich leider nicht.

09.08.2011, 14:48

Huggy

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Zitat:

Original von Dennis2010
Damit ist also jetzt gezeigt, daß für die Integration über $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ das Gleiche herauskommt, also das Integral über jeden geschlossenen Weg um den Ursprung immer gleich (=konstant) ist?

So sehe ich das, wenn man noch die anderen Fälle analog abhandelt.

Zitat:

Edit: Die Musterlösung habe ich leider nicht.

Besorg sie dir. Das würde micht echt interessieren.

09.08.2011, 14:54

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für Deine Erklärungen und die Geduld.

Ich werde mir die Musterlösung besorgen und dann hier posten.

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