(Sin) Werte an bestimmten Punkten

10.12.2006, 22:57	zt	Auf diesen Beitrag antworten »
(Sin) Werte an bestimmten Punkten Hallo, Bei Wolfram findet man zu fast jeder math. Fkt. einen Link zu "Values at fixed points". Beispiele für den Sinus sind etwa: http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/03/02/0002/MainEq1.gif http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/03/02/0015/MainEq1.gif http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/03/02/0155/MainEq1.gif Wie kommt man denn auf sowas? Also, ich wüsste garnicht, wo ich da anfangen sollte. Kann das mal bitte jmd. für http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/03/02/0002/MainEq1.gif zeigen?
10.12.2006, 23:08	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \cos(2x) = \cos^2(x)-\sin^2(x) = 1-2\sin^2(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x = \frac{\pi}{12} \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} \sin^2\left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{1}{2} \left[1-\cos\left( \frac{\pi}{6} \right)\right] = \frac{1}{8} \left[4-2\sqrt{3}\right] = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{8} \end{eqnarray}$ , dann nur noch Wurzel ziehen. Übrigens: Alle Zahlen $\begin{eqnarray} \sin(\pi r),\cos(\pi r) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r\in\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ sind algebraisch.
10.12.2006, 23:35	zt	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Arthur, aber das setzt ja vorraus, dass man bereits weiss, dass $\begin{eqnarray} cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$ ist. Oder übersehe ich da jetzt was? Danke schonmal!
11.12.2006, 00:32	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \cos 3x=\cos x(4\cos^2x-3) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x=\frac{\pi}{6} \end{eqnarray}$ ergibt: $\begin{eqnarray} 0=\cos\frac{\pi}{2}=\cos\frac{\pi}{6}\cdot \left(4\cos^2\frac{\pi}{6}-3\right) \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
11.12.2006, 17:27	zt	Auf diesen Beitrag antworten »
@ MSS, Das war wohl der Versuch für mich herzuleiten.. ich raff's aber nicht, sprich: aus deiner Formel werd' ich nicht schlau.
11.12.2006, 17:41	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \cos 3x=\cos x(4\cos^2x-3) \end{eqnarray}$ . Setzt man $\begin{eqnarray} x=\frac{\pi}{6} \end{eqnarray}$ , so erhält man: $\begin{eqnarray} \cos\frac{\pi}{6}\cdot \left(4\cos^2\frac{\pi}{6}-3\right)=\cos\left(3\cdot\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{2}=0 \end{eqnarray}$ Daraus folgt, dass entweder $\begin{eqnarray} \cos\frac{\pi}{6}=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 4\cos^2\frac{\pi}{6}-3=0 \end{eqnarray}$ gelten muss. Da ersteres nicht möglich ist, bleibt nur die zweite Gleichung und daraus ergeben sich die Möglichkeiten $\begin{eqnarray} \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} \cos\frac{\pi}{6}>0 \end{eqnarray}$ muss dann aber $\begin{eqnarray} \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$ gelten. Gruß MSS
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