Guldinsche Regel beweisen

10.12.2006, 23:06

Mazze

Guldinsche Regel beweisen

Sei $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb{R}_+^2 \end{eqnarray*}$ beschränkt und meßbar. Sei weiterhin R die y-Koordinate des Schwerpunktes von A also

$\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{\lambda^2(A)}\int_{A}^{} y(x_1,x_2) d\lambda^2(x_1,x_2) \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} y(x_1,x_2) = x_1 \end{eqnarray*}$

Sei weiterhin V der durch Rotation der Fläche A an der z-Achse entstehende Rotationskörper. Zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} \lambda^3(V) = 2\pi R\lambda^2(A) \end{eqnarray*}$

So ich hatte diverse Ideen, zum Beispiel zu zeigen das es eine stetig differenzierbare bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} V = \Phi(M) \end{eqnarray*}$ wobei M gerade so aussieht:

Sei $\begin{eqnarray*} a = \sqrt{\pi \int_{A}^{}y(x_1,x_2)d\lambda^2(x_1,x_2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M = \{(r,\phi,z): z \in [0,1], \phi \in [0,2\pi], r \in [-a,a]\} \end{eqnarray*}$

Wenn es diese Phi gebe so wären die Maße gleich. Allerdings das zu zeigen halte ich für noch schwerer. Mein bisher "fruchtbarster" Ansatz war die Funktion y direkt über der Menge zu integrieren also etwas künstlich:

$\begin{eqnarray*} 2\pi R\lambda^2(x_1,x_2) = 2\pi \int_{A}^{}x_1 d\lambda^2 \end{eqnarray*}$

Dann muss man sich natürlich Gedanken über die Grenzen machen, ich wähle die y Koordinaten "fest" und drücke die x-Koordinaten abhängig davon aus. Da A beschränkt ist existieren folgende Suprema/Infima:

$\begin{eqnarray*} a = \inf_{y(x_1,x_2)}\{x_1\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = \sup_{y(x_1,x_2)}\{x_1\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c = \inf_{(x_1,x_2) \in A}\{x_2\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d = \sup_{(x_1,x_2) \in A}\{x_2\} \end{eqnarray*}$

Also ich schreibe die kleinsten und größten y-Koordinaten auf und möchte dann die x-Koordinaten abhängig davon ausdrücken. Das ganze würde dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \displaystyle{2\pi \int_{A}^{}x_1 d\lambda^2 = 2 \pi \int_{c}^{d} \int_{a}^{b}x_1 dx_1 dx_2} = \pi \int_{c}^{d}b^2 - c^2dx_2 \end{eqnarray*}$

So wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} d^2 - c^2 \end{eqnarray*}$ als ein $\begin{eqnarray*} r(x)^2 \end{eqnarray*}$ ausdrücken könnte, könnte ich die Formel für das Rotationsvolumen mittels Zylinderkoordinaten anwenden. Leider krieg ich das nicht hin. Vielleicht lauf ich ja auch völlig falsch, hat da vielleicht jemand eine Idee?

10.12.2006, 23:35

cst

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RE: Guldinsche Regel beweisen
Also mit den Suprema und Infima bin ich überfordert, aber mit Guldini hatten wir erst neulich hier was. Falls $\begin{eqnarray*} \lambda^2(A) \end{eqnarray*}$ für die rotierende Fläche steht (ist das so?) und $\begin{eqnarray*} \lambda^3(V) \end{eqnarray*}$ für das Volumen, hilft dir vielleicht mein Beitrag von hier weiter.

MfG
Christian

10.12.2006, 23:39

Mazze

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Danke für die Antwort, aber ich will ja gerade zeigen das man das so machen darf Augenzwinkern

. Aber die Idee von Mythos in dem Thread werd ich mal ausprobiern.

Zitat:

Falls $\begin{eqnarray*} \lambda^2(A) \end{eqnarray*}$ für die rotierende Fläche steht (ist das so?)

Das steht für das Lebesquemaß im R². Aber die Fläche A wird rotiert.

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