kleinste Periode der Funktion g(x)= sqrt(sin² x+1)

22.05.2011, 00:21

marcelecram

kleinste Periode der Funktion g(x)= sqrt(sin² x+1)

Guten Abend zusammen bzw. Guten Morgen smile

Ich steh mal wieder vor einem Problem und wäre dankbar für eure Mithilfe.

Gesucht ist die kleinste Periode der Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{sin² x+1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
hab ehrlich gesagt keine, weil ich nichts mit dem $\begin{eqnarray*} sin² \end{eqnarray*}$ anfangen kann, insbesondere mit dem nachfolgenden $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ . Was gehört zum sinus dazu? Nur das x oder x+1? verwirrt

Natürlich bin ich über die Sufu auf das Thema http://www.matheboard.de/archive/416115/thread.html gestoßen, bloß konnte mir dessen Inhalt nicht wirklich weiterhelfen.

Mein erster Gedankengang war folgender:
$\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{sin² x+1} =\sqrt{(sin(x+1))²} = sin(x+1) \end{eqnarray*}$

Ich bedank mich schon mal im Voraus!

Gruß
Marcel

22.05.2011, 01:24

Zellerli

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Es gilt: $\begin{eqnarray*} \sin ^2 x = (\sin x)^2 \end{eqnarray*}$ .
Entsprechend ist dein Ansatz falsch.

Ich verstehe nur die Frage nicht... Wie kann die Periode einer periodischen Funktion irgendwo am kleinsten sein? verwirrt

22.05.2011, 13:56

marcelecram

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Zitat:

Original von Zellerli
Ich verstehe nur die Frage nicht... Wie kann die Periode einer periodischen Funktion irgendwo am kleinsten sein? verwirrt

Hallo Zellerli,
Na weil ich die Funktion innerhalb eines Zyklus' beschreiben kann, danach fängt wieder alles von vorne an.
So gilt zum Beispiel $\begin{eqnarray*} sin(x) = sin(x+2\pi) = sin(x+4\pi) ... \end{eqnarray*}$ (im Bogenmaß!)
Die kleinste Periode wäre in dem Fall $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ , d.h. um die Funktion zu kennen, muss ich lediglich das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ beschreiben.

Nun zurück zur Ausgangsfunktion:
Liege ich dann richtig in der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{sin²x+1} = \sqrt{(sin x)²+1} \end{eqnarray*}$ ?

Freundlichen Gruß
Marcel

22.05.2011, 14:09

Leopold

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Um das noch einmal klarzustellen: Das nachfolgende $\begin{eqnarray*} +1 \end{eqnarray*}$ gehört nicht unter den Sinus. Du mußt das also so lesen:

$\begin{eqnarray*} g(x) = \sqrt{\sin^2 x + 1} = \sqrt{\left( \sin x \right)^2 + 1} \end{eqnarray*}$

Man sieht sofort, daß $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die Periode $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ besitzt. Aber ist das auch die kleinstmögliche Periode? Zeige, daß

$\begin{eqnarray*} \sin^2 x + 1 = \frac{1}{2} \left( 3 - \cos(2x) \right) \end{eqnarray*}$

gilt. Daran kannst du alles ablesen.

@ Zellerli

"Kleinste" Periode paßt schon, denn jedes Vielfache einer Periode ist ja ebenfalls eine Periode. Allerdings wird wohl in der Praxis "kleinste" meist weggelassen, weil man quasi "von Natur aus" die bestmögliche Lösung sucht.

22.05.2011, 18:49

marcelecram

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Hallo,

ich glaub mir fehlt nicht mehr allzu viel um da durchzublicken.

Durch probieren habe ich herausgefunden, dass $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ die kleinste Periode von $\begin{eqnarray*} (sinx)² \end{eqnarray*}$ ist.

In meiner Formelsammlung habe ich Folgendes gefunden:
$\begin{eqnarray*} sin² x = \frac{1}{2}\ (1 - \cos (2x) ) \end{eqnarray*}$

Wie komm ich denn auf:
$\begin{eqnarray*} sin² x +1= \frac{1}{2}\ (3 - \cos (2x) ) \end{eqnarray*}$

Ich wäre dankbar für einen Tipp!

Gruß
Marcel

22.05.2011, 20:43

Zellerli

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Das "Probieren" ist nicht unbedingt Sinn der Sache. Es muss ja nachvollziehbar und logisch schlüssig sein.

Es geht auch ohne die Formel von Leopold direkt am Quadrat des Sinus. Aber dann musst du eine bestimmte Symmetrie nachweisen. Das halte ich für aufwändiger.

Auf die Formel kommst du übrigens, wenn du zu deiner nachgeschlagenen Formel auf beiden Seiten eine 1 addierst und sie auf der rechten Seite mit Gewalt in die Klammer ziehst.

23.05.2011, 18:35

marcelecram

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Zitat:

Original von Zellerli
...Auf die Formel kommst du übrigens, wenn du zu deiner nachgeschlagenen Formel auf beiden Seiten eine 1 addierst und sie auf der rechten Seite mit Gewalt in die Klammer ziehst.

Und wieso macht man sowas? Kann man das später einmal gebrauchen? Wo wir gerade dabei sind, wie um Gottes Willen kriegst du die 1 da rein? verwirrt

Hat wohl irgendwas mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0,5} \end{eqnarray*}$ zu tun.
Das war die letzte Frage zu dem Thema Gott

Gruß
Marcel

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