Minimalpolynom über Q (2) [KAB]

22.05.2011, 02:42

tigerbine

Minimalpolynom über Q (2) [KAB]

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} c=\frac{1+i}{\sqrt{6}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L=\mathbb Q(c) \end{eqnarray*}$

(a) Bestimme das Minimalpolynom von f von c.

(b) Zeige, dass L|Q eine Galoiserweiterung ist.

(c) Isomorphietyp von Aut(L|Q) bestimmen

(d) echte Zwischenkörper von L|Q angeben.

$\begin{eqnarray*} c=\frac{1+i}{\sqrt{6}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9c^4+1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c^4+\frac{1}{9}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f=x^4+\frac{1}{9} = (x^2+\frac{1}{3}i)(x^2-\frac{1}{3}i)=(x+\frac{-1+i}{\sqrt{6}})(x-\frac{-1+i}{\sqrt{6}})(x+\frac{1+i}{\sqrt{6}})(x-\frac{1+i}{\sqrt{6}}) \end{eqnarray*}$

Es hat ist $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt{6},i):\mathbb Q]=4 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m_1=x^2-6, m_2=x^2+1 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{6})\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Es gilt die Inklusion $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{6},i) \subseteq \mathbb Q(c) \end{eqnarray*}$ . Auf der anderen Seite ist

$\begin{eqnarray*} i=3c^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{6}=(\frac{3}{2}c^2-\frac{3}{2}c^3)^{-1} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{6},i) \supseteq \mathbb Q(c) \end{eqnarray*}$ . Somit ist [Q(c):Q]=4 und f ist das Minimalpolynom von c über Q.

(b) f hat endlichen Grad, lauter einfache Nullstellen und zerfällt über Q(c). Die Körpererweiterung ist also endlich, separabel und normal.

(c) Es ist Aut(L|Q) eine Untergruppe der Ordnung 4 der S4. Somit kommen C4 und V4 in Frage. Betrachten wir die Elemente von Aut(L|Q), so sind sie auf Q die Identität und weiter durch das Bild einer Nullstelle von f eindeutig bestimmt.

$\begin{eqnarray*} f=(x+3c^3)(x-3c^3)(x+c)(x-c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma_1(c)=c \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \sigma_1=id. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma_2(c)=-c,~\sigma_2(3c^3)=-3c^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma_3(c)=3c^3,~\sigma_3(3c^3)=c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma_4(c)=-3c^3,~~\sigma_4(3c^3)=-c \end{eqnarray*}$

Damit komme ich auch hier auf die kleinsche Viergruppe. Es gibt 3 Untergruppen der Ordnung 2.

(d) Die 3 echten Zwischenkörper sind $\begin{eqnarray*} Q(\sqrt{6}), Q(i), Q(i\sqrt{6}) \end{eqnarray*}$

22.05.2011, 14:21

juffo-wup

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Alles richtig. Anmerkungen: Es wäre etwas einfacher gewesen anstatt mit $\begin{eqnarray*} 3c^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ic \end{eqnarray*}$ zu rechnen. Dass mit c auch $\begin{eqnarray*} -c,ic,-ic \end{eqnarray*}$ Nullstellen von f sind, hätte man auch direkt an der Gleichung $\begin{eqnarray*} c^4+\frac{1}{9}=0 \end{eqnarray*}$ ablesen können. (i ist primitive 4. Einheitswurzel)

22.05.2011, 15:06

tigerbine

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Danke!

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