Fehlersuche - Klassengleichung und Sylow-Gruppen

22.05.2011, 10:23	carlf	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlersuche - Klassengleichung und Sylow-Gruppen Meine Frage: Welche Terme können als rechte Seite der Klassengleichung einer 10elementigen Gruppe auftreten, welche nicht? 1 + 1 + 1 + 2 + 5 1 + 2 + 2 + 5 1 + 2 + 3 + 4 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 Bzw. wo liegt der Fehler bei den Schlussfolgerungen, mit denen ich 1 + 2 + 2 + 5 ausgeschlossen habe..? Meine Ideen: Der erste Term kann ausgeschlossen werden, weil sonst das Zentrum Z drei Elemente hat, was nicht sein kann, da Z eine Untergruppe von G ist (die Gruppe der Ordnung 10 nenne ich einfach mal G). Der dritte kann auch nicht vorkommen, denn 3 (und auch 4) ist kein Teiler von 10, aber die Länge einer Bahn/Konjugiertenklasse (bzw. der Index einer Untergruppe, hier sogar Stabilisator) muss immer die Gruppenordnung teilen. So weit bin ich. Die anderen beiden Terme hatte ich mit der folgenden (falschen!?) Argumentation ausgeschlossen: Nach den Sylow-Sätzen ist jede 5-Untergruppe (wegen $\begin{eqnarray} 10 = 2^1 \cdot 5^1 \end{eqnarray}$ hat jede 5-UG auch schon die Ordnung 5.) in einer 5-Sylowgruppe enthalten. Die Anzahl der 5-Sylowgruppen ist ein Teiler von 2 (also 1 oder 2) und kongruent zu 1 modulo 5. Damit bleibt nur 1 über, denn 2 und 1 sind modulo 5 nicht kongruent. Also kann es nur eine 5-Sylowgruppe geben und da diese genau wie jede 5-Untergruppe bereits Ordnung 5^1 = 5 hat, und außerdem jede UG der Ordnung 5 enthält, kann es nur eine Untergruppe der Ordnung 5 geben. Also kann $\begin{eqnarray} [G : G_x] = \frac{\lvert G \rvert}{\lvert G_x \rvert} \end{eqnarray}$ (hier bezeichne G_x den Stabilisator von x) für höchstens einen Repräsentanten der Konjugiertenklassen = 10 / 5 = 2 sein. Naja, die D_5 ist ja wohl ein Gegenbeispiel mit der Klassengleichung 1 + 2 + 2 + 5. Wo liegt also der Fehler in der obigen Argumentation..? Kann keine Verletzung der Voraussetzungen der Sylow-Sätze o.ä. ausfindig machen, es wäre toll, wenn mir hier jemand helfen könnte. Außerdem muss ich dann ja noch auf eine andere Art und Weise zeigen, dass 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 nicht auftauchen kann, wenn die Beweisidee oben allgemein nicht funktioniert.
22.05.2011, 10:30	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Komische Argumentation, es gibt auch nur eine Untergruppe mit 10 Elementen, trotzdem kann die 1 mehrmals auftreten. Es folgt eben nicht(!) $\begin{eqnarray} x\neq y \Rightarrow G_x\neq G_y \end{eqnarray}$
22.05.2011, 10:55	carlf	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht ja auch nicht um $\begin{eqnarray} x \neq y \Longrightarrow G_x \neq G_y \end{eqnarray}$ , sondern genügen würde schon $\begin{eqnarray} G \cdot x \neq G \cdot y \Longrightarrow G_x \neq G_y \end{eqnarray}$ für die Bahnen $\begin{eqnarray} G \cdot x, G \cdot y \end{eqnarray}$ . Aber du hast natürlich Recht, auch das muss nicht erfüllt sein.. Und dass trotz nur einer UG der Ordnung 10 auch mehrere Einsen auftreten können ist einleuchtend. Danke! Dann hänge ich allerdings vorerst immernoch an der Frage, warum 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 nicht auftreten kann.. ?!

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