Funktionsfolgen/Reihen

22.05.2011, 11:36	kingi	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsfolgen/Reihen Meine Frage: Hey da bin ich wieder hänge wieder bei mein alt bekannte Problem (folgen und Reihen^^) Die aufgaben stellung lautet: Untersuchen Sie die folgenden Funktionenfolge und Funktionenreihe auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz: (i) $\begin{eqnarray} g_n:\mathbb R ->\mathbb R :\times -> \sin(\frac{x}{n} ) \end{eqnarray}$ (ii) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{nx}{1+n^4 x^2} \times\in [a,\infty ),a>0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: hab mir gedacht das ich bei denn aufgaben nur die Gleichmäsige Konvergenz beweisen muss da ja damit auch die Punktweise Konvergenz gezeigt wird meine Ideen zu (i) hab mir gedacht da ja beim sinus der grenzwert bei 1 und -1 liegt kann man als sub 1 nehmen dan würde ja das hier raus kommen $\begin{eqnarray} sub \sin(\frac{x}{n} ) = \sin(\frac{1}{n} ) \end{eqnarray}$ aber wie kann ich jetzt davon die Konvergenz bestimmen bei der (ii) stehe ich noch tottal aufem schlauch^^ für Tipps wäre ich Dankbar
22.05.2011, 12:43	Kingi	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}~sin(\frac{1}{n}) aehnlich \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ darf ich so Argumentiern und damit beweisen das die Reihe Divergiert also folglich auch nicht Punkt oder Gleichmäßig Konvergiert
22.05.2011, 15:17	Kingi	Auf diesen Beitrag antworten »
ist mein ansatz uberhaupt richtig^^
22.05.2011, 18:56	Kingi	Auf diesen Beitrag antworten »
hat keiner eine tipp dazu
23.05.2011, 11:23	Kingi	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner eine Idee^^
21.01.2012, 13:05	xcx32	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube nicht, dass du daran noch Interesse hast, aber vielleicht benutzt ja jemand die Suchfunktion und kommt auf den Beitrag. Iich würds folgendermaßen machen (ob's stimmt, weiß ich nicht): sin(x/n) geht für alle x aus R gegen 0 für n -> unendlich, somit ist die Konvergenz schonmal punktweise und zwar gegen die Grenzfunktion f(x) = 0. Danach kann man sagen, dass lim sup für alle x aus dem Definitionsbereich, in dem Fall R, von \|f_n(x)-f(x)\| = lim sup \|f_n(x)\| gegen 0 strebt, da das Supremum immer dann auftritt, wenn x 1 bzw. -1 ist (dann ist der Sinus am größten für alle n). Da dies gegen 0 strebt, ist die Konvergenz gleichmäßig. D.h. wir verwenden für die glm. Konv. das Kriterium lim sup (x€I) \|f_n(x)-f(x)\| -> 0 => glm. Konv. lg
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