Funktionalgleichung erfüllen

22.05.2011, 10:42

Habor

Funktionalgleichung erfüllen

Moin liebes Mathevolk,
ich habe hier eine Aufgabe vorliegen bei der ich einfach keinen Ansatzpunkt habe sie zu lösen:

Zeigen Sie, aber ohne die Exponentialgleichung zu bemühen, dass die reele Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x) := \Sigma_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

die Funktionalgleichung
$\begin{eqnarray*} f(2x) = 2(f(x))^2 - 1 \end{eqnarray*}$

erfüllt.

Ich habe ehrlich gesagt nichtmal eine Ahnung, was damit überhaupt gemeint ist. (Unser Prof. mag es Stoff in Übungsblättern abzufragen, den er erst bespricht, wenn wir abgegeben haben.)

Habor

22.05.2011, 10:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Habor
Unser Prof. mag es Stoff in Übungsblättern abzufragen, den er erst bespricht, wenn wir abgegeben haben.

Es wäre ja äußerst langweilig, wenn er schon alles vorkauen würde. Und man muss ja nicht mal sonderlich phantasievoll sein, um bei

$\begin{eqnarray*} (f(x))^2 = \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \right) \end{eqnarray*}$

zunächst an die Cauchyprodukt-Reihe zu denken.

22.05.2011, 11:21

Habor

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Ok, jetzt habe ich gezeigt, dass die reele Fkt. absolut konvergent ist und ich das Cauchyprodukt bilden kann. Was dann?

22.05.2011, 11:58

HAL 9000

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Na bilde es doch einfach, dieses Cauchyprodukt! Und wenn du anschließend den entstehenden Reihenkoeffizient vereinfachst, bist du doch gewissermaßen schon am Ziel.

22.05.2011, 12:57

Habor

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Das wäre dann denke ich:

$\begin{eqnarray*} f(2x) = 2 (\sum_{k=0}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!(2n-2k)!}) - 1 \end{eqnarray*}$

Ich weiß wirklich nicht, wie mich das weiterbringt.

22.05.2011, 13:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Habor
$\begin{eqnarray*} f(2x) = 2 (\sum_{k=0}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!(2n-2k)!}) - 1 \end{eqnarray*}$

Schlampig ausgeführt, in höchstem Grade schlampig: Es fehlt eine Summation, und der Summand ist auch noch falsch: Es ist

$\begin{eqnarray*} 2(f(x))^2-1 = 2 \left( \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{(2k)!(2n-2k)!}\cdot x^{2n} \right) - 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Habor
Ich weiß wirklich nicht, wie mich das weiterbringt.

Die obige Cauchyprodukt-Reihe soll nach Behauptung mit

$\begin{eqnarray*} f(2x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{2n}}{(2n)!}\cdot x^{2n} \end{eqnarray*}$

übereinstimmen. Das zeigt man am besten dadurch, dass man die Gleichheit der Koeffizienten in beiden Potenzreihen nachweist.

22.05.2011, 14:48

Habor

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Zitat:

Original von HAL 9000
Schlampig ausgeführt, in höchstem Grade schlampig

Hab dich auch lieb. Wie ich bereits sagte, wir haben das zwar theoretisch kurz durchgenommen, aber an einem Beispiel noch nie gezeigt und im Web ist, was man findet, auch nur hoch theoretisches Gefasel. (Ich bin Praktiker, kein Theoretiker.)

Nun zur Frage:
Wie kommst du von:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2(f(x))^2-1 = 2 \left( \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{(2k)!(2n-2k)!}\cdot x^{2n} \right) - 1 \end{eqnarray*}$

nach

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(2x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{2n}}{(2n)!}\cdot x^{2n} \end{eqnarray*}$

22.05.2011, 14:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Habor
Wie kommst du von [...] nach

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(2x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{2n}}{(2n)!}\cdot x^{2n} \end{eqnarray*}$

Nicht "von da nach da kommen", sondern einfach nur $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in die Funktionsdefinition

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

einsetzen.

Zitat:

Original von Habor
Ich bin Praktiker, kein Theoretiker.

Diese Art selbstbewusste Rechtfertigung überzeugt mich genauso wenig wie die eines Theoretikers, der sich seiner linken Hände rühmt. unglücklich

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