quadratische Gleichungen 2

22.05.2011, 12:49

Lollo1991

Auf diesen Beitrag antworten »

quadratische Gleichungen 2

Aufgabe:

Eine Stereoanlage kostet 1200,00 Euro. Der Preis wurde im März um einen bestimmten Prozentsatz gesenkt und im Oktober nochmals um den gleichen Prozentsatz. Die Anlage kostete danach 972,00 Euro. Wie hoch war der Prozentsatz der Preissenkungen?

Ich habe mir 2 Gleichungen aufgestellt und diese auch gelöst. Das Ergebnis, würde sogar hinkommen(also denke ich).
Allerdings steht diese Aufgabe im Buch unter quadratischen Gleichungen. Meine Gleichungen haben allerdings nirgends ein Quadrat..
Was habe ich falsch gemacht?? verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

Meine Gleichungen lauten:

$\begin{eqnarray*} 1200-x=y \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} y-x=972 \end{eqnarray*}$

oder kann ich die so nicht nehmen?

habe dann die erste in die zweite eingesetzt.
Also:
$\begin{eqnarray*} 1200-x-x=972 \end{eqnarray*}$

darf ich das so eigentlich machen oder muss ich da sagen:
$\begin{eqnarray*} (1200-x)\cdot(-x)=972 \end{eqnarray*}$

wenn ich das zweite nehmen müsste (also mit dem $\begin{eqnarray*} \cdot(-x) \end{eqnarray*}$ ), dann wäre mir auch klar weshalb ich keine quadratische Gleichung erhalten habe, denn ich habe meine erste Variante genommen. Die zweite habe ich auch ausprobiert, allerdings erhalte ich da irgendwie ein komischen Ergebnis, welches ich für falsch ansehe.

Naja, also meine erste Variante, wie ich gerechnet habe:
$\begin{eqnarray*} 1200-x-x=972 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1200-2x=972 \end{eqnarray*}$ dann habe ich $\begin{eqnarray*} | -1200 \end{eqnarray*}$ gemacht

$\begin{eqnarray*} -2x=-228 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} | : (-2) \end{eqnarray*}$
72
$\begin{eqnarray*} x=114 \end{eqnarray*}$

114 eingesetzt für x in meine Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 1200-x=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1200-114=1086 \end{eqnarray*}$

in meine zweite Gleichung:

$\begin{eqnarray*} y-x=972 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1086-114=972 \end{eqnarray*}$

würde also irgendwie passen..
auch wenn ich meine zusammengesetzte nehme:

$\begin{eqnarray*} 1200-2x=972 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1200-2 \cdot 114=972 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 972 =972 \end{eqnarray*}$

das einzige was mich halt irritiert ist, dass dies ja keine quadratische Gleichung ist.. und ich dachte mir, wenn es im Buch schon unter quadratischen Gleichungen steht, sollte es ja eigentlich auch eine sein.. oder sehe ich das jetzt irgedwie falsch? verwirrt

verwirrt

Naja dann noch die antwort auf die Frage: wie hoch der prozentsatz war, würde ich dann sagen, wenn ich mit dem ergebnis 114 rechne, das es 9,5% waren.

Doch ist das wirklich richtig? wie gesagt.. ich sehe es nicht als quadratische Gleichung an.. verwirrt

verwirrt

Lieben Gruß Lollo

und vielen Dank für die Hilfe im Vorraus.

22.05.2011, 13:01

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: quadratische Gleichungen 2
Dein Problem ist, dass du vorrausgesetzt hast, das es beide Male um den gleichen Betrag gesenkt wird und nicht um den gleichen Prozentsatz.

Wir nehmen irgendein Produkt, das kostet 100 Euro, es wird erst um 10% gesenkt, wir haben also den neuen Preis 90 Euro, senke ich den nochmals um 10% so erhalten wir den Pries 81 Euro, die erste Vergünstigung waren also 10 Euro, die zweite aber aufgrund des neuen Ausgangspreises nur 9 Euro.

Bei dir wird das Produkt nun beide Male um 114 Euro gesenkt, es ist $\begin{eqnarray*} \frac{114}{1200} \cdot 100 =9,5 % \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{114}{1200-114} \cdot 100 =10,5% \end{eqnarray*}$ , die Prozentzahlen sind also nicht die gleichen, der Betrag um den es gesenkt wurde aber schon.

Versuche einmal den Ansatz zu verfolgen, dass x der Prozentsatz ist, um den es gesenkt wurde, welchen Preis haben wir dann nach der ersten Preissenkung?

22.05.2011, 14:13

Lollo1991

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: quadratische Gleichungen 2
meinst du jetzt das ich die Gleichung so schreiben sollte?

1200-x%=y ??

oder verstehe ich das jetzt gerade falsch??

22.05.2011, 14:22

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: quadratische Gleichungen 2
Prozent ist ein Verhältnis, es wird von 1200 Euro ein bestimmetre Prozentsatz abgezogen, den nennen wir einmal x.

Nun haben wir 1200-1200*(x/100)=neuer Preis.

Von diesem neuen Preis werden wieder x% abgezogen

22.05.2011, 14:41

Lollo1991

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: quadratische Gleichungen 2
den neuen Preis kann ich dann aber auch y nennen oder??

dann müsste ich ja theoretisch als zweite Gleichung haben (wenn ich neuen Preis y nenne)

$\begin{eqnarray*} y-y \cdot (x/100)=972 \end{eqnarray*}$

oder?

22.05.2011, 17:05

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: quadratische Gleichungen 2
Jap, du kannst den neuen Preis y nennen, die zweite Gleichung ist auch richtig. Nun kannst du die erste Gleichung einsetzen und da ist sie, deine gesuchte quadratische Gleichung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anzeige

22.05.2011, 17:14

Lollo1991

Auf diesen Beitrag antworten »

hm.. irgendwie habe ich da noch einen Fehhler, meine ich zummindest.

Habe das jetzt gemacht, und bekomme als ergebnisse:

$\begin{eqnarray*} x_{1}=0,53 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2}=-1,53 \end{eqnarray*}$

das kann doch nicht stimmen oder?

22.05.2011, 17:22

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hast du irgendwas falsch gerechnet, ich bekomme da was recht schönes heraus.

Poste deine Rechnung einmal, damit man sieht, wo der Fehler ist.

22.05.2011, 17:37

Lollo1991

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 1200-1200 \cdot \frac{x}{100} -1200 -1200 \cdot \frac{x}{100} \cdot \frac{x}{100} = 972 \qquad |\cdot 100 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1200 \cdot 100)-(1200 \cdot 100) \cdot x -(1200 \cdot 100)-(1200 \cdot 100) \cdot x \cdot x = 972 \cdot 100 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 120000 - 120000x -120000 -120000x²=97200 \end{eqnarray*}$

hab dann gedacht 120000 und -120000 fällt weg da das ja 0 ergibt..
also:

$\begin{eqnarray*} -120000x²-120000x=97200 \qquad |-97200 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -120000x²-120000x-97200=0 \qquad |\cdot (-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 120000x²+120000x+97200=0 \qquad | : 120000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x²+x-0,81=0 \qquad pq-Formel \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}= -\frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})²+0,81 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}= -0,5 \pm \sqrt{0,25+0,81 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}= -0,5 \pm 1,03 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}= 0,53 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}= -1,53 \end{eqnarray*}$

22.05.2011, 17:39

Lollo1991

Auf diesen Beitrag antworten »

oh.. sehe gerade, hätte + 97200 auf der rechten seite schreiben müssen , nicht -97200

allerdings hätte ich ja dann am ende eine leere menge verwirrt

verwirrt

da muss noch ein anderer fehler sein..

22.05.2011, 17:42

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fehler ist bereits ganz am Anfang.

Wenn wir in die Gleichung $\begin{eqnarray*} y-y \cdot \frac{x}{100}=972 \end{eqnarray*}$ folgendes einsetzen: $\begin{eqnarray*} y=1200-1200 \cdot \frac{x}{100} \end{eqnarray*}$ erhalten wir folgendes:

$\begin{eqnarray*} \left( 1200-1200 \cdot \frac{x}{100} \right)-\left( 1200-1200 \cdot \frac{x}{100} \right) \cdot x=972 \end{eqnarray*}$ .

Also Klammern nicht vergessen und richtig auflösen.

22.05.2011, 17:48

Lollo1991

Auf diesen Beitrag antworten »

kann es sein das du das /100 vergessen hast? oder gehörte das doch nicht in die Gleichung??

$\begin{eqnarray*} (1200-1200 \cdot \frac{x}{100} )-(1200-1200 \cdot \frac{x}{100} )\cdot \frac{x}{100}=972 \end{eqnarray*}$

22.05.2011, 17:51

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast natürlich recht, ich habe das ver´gessen, habe auch selbst nicht damit gerechnet, so wie es bei dir steht ist es richtig.

22.05.2011, 17:56

Lollo1991

Auf diesen Beitrag antworten »

also mit $\begin{eqnarray*} \left(1200 -1200 \cdot \frac{x}{100} \right) - \left(1200 -1200 \cdot \frac{x}{100} \right) \cdot \frac {x}{100}=972 \end{eqnarray*}$

muss ich doch als nächsten schritt die hinterste klammer mit dem $\begin{eqnarray*} \frac {x}{100} \end{eqnarray*}$ multiplizieren oder?

also:

$\begin{eqnarray*} \left(1200 -1200 \cdot \frac{x}{100} \right) - \left(1200 \cdot \frac{x}{100} - \frac{1200x}{100} \cdot \frac{x}{100} \right)=972 \end{eqnarray*}$

oder?

22.05.2011, 17:59

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lollo1991

$\begin{eqnarray*} \left(1200 -1200 \cdot \frac{x}{100} \right) - \left(1200 \cdot \frac{x}{100} -1200 \frac{x}{100} \cdot \frac{x}{100} \cdot \frac{x}{100} \right)=972 \end{eqnarray*}$

oder?

In derm letzten Ausdruck ist zu viel des guten.

22.05.2011, 18:01

Lollo1991

Auf diesen Beitrag antworten »

ist mir auch gerade aufgefallen, habe es auch schon editiert, bevor ich deine antwort gelesen hatte..

oder ist es immernoch falsch??

22.05.2011, 19:18

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht darf ich, da lgrizu abwesend ist, meinen Ansatz vorstellen?

Ich habe gesetzt: x = Anteil, der nach dem Abzug des unbekannten Prozentsatzes noch übrig bleibt, also 100% - y% = x% bzw. 1 - y = x

Die Gleichung lautet dann: 1200 · x² = 972

Der Rest ist leicht zu errechnen, bin mir aber nicht sicher, ob mein Ansatz den Anforderungen des Unterrichts entspricht oder ob ich es mir zu leicht mache.

smile

smile

22.05.2011, 19:28

Lollo1991

Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe nicht ganz, wieso 1-y=x

woher nimmst du die 1??

22.05.2011, 19:30

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

100 % sind ja 100 von 100, das kann man auch als 1 schreiben.

50% sind ja 50 von 100, das wären dann 0,5 usw.

Das ist eine praktische Umformung z.B. für Textaufgaben.

smile

smile

22.05.2011, 19:42

Lollo1991

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 1200x²=972 \qquad | : 1200 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x²=0,81 \qquad |\sqrt{\qquad} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=0,9 \end{eqnarray*}$

wenn ich das dann in die andere einsetze, habe ich ja

$\begin{eqnarray*} 1-y=0,9 \qquad |+y \qquad -0,9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-0,9=0,1 \end{eqnarray*}$

müsste dann ja theoretisch, um wieder auf % zu kommen $\begin{eqnarray*} \cdot 100 \end{eqnarray*}$ rechnen.. oder?

also

$\begin{eqnarray*} 0,1 \cdot 100 =10% \end{eqnarray*}$

kommt sogar hin. Dankeschöön smile

smile

würde trotzdem auch gerne noch den anderen Weg zuende machen, um den auch weiter zu verstehen, wäre so auch noch eine gute Übung und dazu hätte ich dann noch einen zweiten Lösungsansatz.

22.05.2011, 22:42

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, können wir machen, wir haben:

$\begin{eqnarray*} \left(1200 -1200 \cdot \frac{x}{100} \right) - \left(1200 \cdot \frac{x}{100} - \frac{1200x}{100} \cdot \frac{x}{100} \right)=972 \end{eqnarray*}$

Das ist dann anch x aufzulösen, heraus kommt dasselbe.

@Sulo: Ich ahbe das ähnlich gerechnet wie du, dachte aber, da es anfangs Verständnisschwierigkeiten gab, ich nehme den am besten nachvollziehbaren Weg, subjektiv natürlich.

22.05.2011, 23:30

Lollo1991

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 1200-\frac{1200x}{100}-\frac{1200x}{100}+\frac{1200x}{100} \cdot \frac{x}{100}=972 \end{eqnarray*}$

ich kann ja die $\begin{eqnarray*} \frac{1200x}{100} \end{eqnarray*}$ mit 100 kürzen oder? dann kommt ja am ende 1 unter dem bruch, und somit fällt der doch weg oder?
also so hab ich es jetzt gemacht..

$\begin{eqnarray*} 1200-12x-12x+12x\cdot \frac{x}{100}=972 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1200-12x-12x+\frac{12x²}{100}=972 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1200-24x+\frac{12x²}{100}=972 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{12x²}{100}-24x+1200=972 \qquad |\cdot 100 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 12x²-2400x+120000=972000 \qquad |-972000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 12x²-2400x+22800=0 \qquad |:12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x²-200x+1900=0 \qquad |pq-Formel \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{200}{2} \pm \sqrt{- \left(\frac{200}{2}\right) ² -1900 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 100 \pm \sqrt{10000-1900} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 100 \pm 90 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}=190 \end{eqnarray*}$
v
$\begin{eqnarray*} x_{2}=10 \end{eqnarray*}$

was mach ich denn jetzt mit der 190?? streichen und sagen das das $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ ist??

23.05.2011, 00:22

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

190 % Preissenkung kommen ja schwer in Frage. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bei deiner ersten Lösung hast du genau diese Lösung unterschlagen, es ist $\begin{eqnarray*} x^2=0,81 \Rightarrow x=\pm 0,9 \end{eqnarray*}$ und es ist $\begin{eqnarray*} y=1-(-0,9)=1,9 \end{eqnarray*}$

23.05.2011, 16:01

Lollo1991

Auf diesen Beitrag antworten »

okay
Dankeschöön für die Hilfe smile

smile

schönen Tag noch. Wink

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »