Hilfe bei DGL, Störfunktionsansatz, Koeffizientenvergleich

11.12.2006, 00:23

°°Ben³

Hilfe bei DGL, Störfunktionsansatz, Koeffizientenvergleich

Hallo,
ich stehe total auf dem Schlauch .. liegt sicherlich an der Nervosität ... hab morgen 'ne Klausur.

Das Folgende kann ich eigentlich (toller Sprich Augenzwinkern

), aber ich bin einfach zu doof .. verwirrt

Ich habe folgende Differentialgleichung:
$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy} = -2y + x^2e^{2x} \end{eqnarray*}$

Super. Homogene Lösung ist ce^2x und die partikuläre Lösung versuche ich mit einem Ansatz vom Typ der rechten Seite zu bestimmen.
So komme ich dann auf
$\begin{eqnarray*} yp = (a + bx + cx^2)e^{2x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} yp' = 2ae^{2x} + 2bxe^{2x} + 2be^{2x} + 2cx^2e^{2x} + 2cxe^{2x} \end{eqnarray*}$

Der Koeffizientenvergleich bringt mir dann irgendwie ..
$\begin{eqnarray*} 2a + b = -2a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2b+ 2c = -2b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2c = 2c \end{eqnarray*}$

So. Da kann doch was nicht stimmen oder? Wegen dem 2c = 2c mein ich. Bin ich eventuell einfach nur ... Hammer

Ich suche jetzt schon bisken länger, aber ich komm einfach nicht zu Potte .. finde den Fehler nicht.

Wäre ... nett, wenn mir da jemand helfen könnte.

Danke Euch.
Grüße ..

11.12.2006, 14:04

Abakus

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RE: Hilfe bei DGL, Störfunktionsansatz, Koeffizientenvergleich

Zitat:

Original von °°Ben³
Ich habe folgende Differentialgleichung:
$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy} = -2y + x^2e^{2x} \end{eqnarray*}$

Super. Homogene Lösung ist ce^2x und die partikuläre Lösung versuche ich mit einem Ansatz vom Typ der rechten Seite zu bestimmen.
So komme ich dann auf

Du hast dx und dy in der DGL vertauscht und die homogene Lösung sollte $\begin{eqnarray*} C \cdot e^{-2x} \end{eqnarray*}$ sein.

Grüße Abakus smile

10.09.2007, 20:05

mark

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RE: Hilfe bei DGL, Störfunktionsansatz, Koeffizientenvergleich
Hallo,

ich habe noch eine Frage zu einem Störfunktionsansatz bei einer Differentialgleichung. Welcher Ansatz ist bei einer Störfunktion wie z.B. $\begin{eqnarray*} \frac {e^{3x}} {2x} \end{eqnarray*}$ bzw. tan(x) zu wählen?

10.09.2007, 20:36

vektorraum

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RE: Hilfe bei DGL, Störfunktionsansatz, Koeffizientenvergleich
@Mark: Der Thread ist schon etwas älter. Worauf beziehst du dich den genau? Hast du eventuell eine spezielle Aufgabe, die es zu lösen gilt. Dann kann man die besten Tipps geben, da in einigen Fällen dort wirksamere Methoden greifen könnten.

Also poste doch mal deine Aufgabe.

10.09.2007, 21:07

mark

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Der Thread schien mir nach der Suche am geeignetsten. Ich wollte nicht noch einen aufmachen.
Zur Sache: Ich habe keine spezielle Aufgabe dazu, sondern suche den nur den speziellen Ansatz.. Es geht um ein inhomogenes lineares DGL mit konstanten Koeffizienten. z.B.:
$\begin{eqnarray*} y''' + 33y'' - 9y = e^{17x} \end{eqnarray*}$

Dies ist noch nicht das Problem, man löst die homogene DGL und anschliessend kümmert man sich um die Störfunktion, indem man folgenden Ansatz wählt:

$\begin{eqnarray*} (Ax + B)e^{17x} = y_{1} \end{eqnarray*}$

ableitet, einsetzt usw.
Falls die Störfunktion aber etwas komplizierter wird - wie z.B. in meinem ersten Post - habe ich Probleme einen korrekten Ansatz zu finden.

10.09.2007, 21:33

vektorraum

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Bemerkt sei aber, dass die Wahl eines solchen Ansatzes für die partikuläre Lösung einer Betrachtung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms bedarf. Deshalb würde ich jetzt nicht allzu voreilig ein "Rezept" angeben wollen, ohne die komplette DGL mit seiner homogenen Lösungen gesehen haben zu wollen.

Hilft dir folgendes: $\begin{eqnarray*} \tan x=\cfrac{\sin x}{\cos x} \end{eqnarray*}$ ???

Ansonsten hat dich Variation der Konstanten auch nicht weitergebracht???

Ich könnte dir jetzt ganz viele mögliche Ansätze für jegliche Form anbieten, aber haben wir nicht ein Beispiel?

10.09.2007, 22:08

mark

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Natürlich, ohne die Nullstellen des charakterischtischen Polynoms kann man eine spezielle Aufgabe nicht lösen. Mir geht es aber hier wirklich nur um das Rezept. (Deshalb interessiert mich in diesem Fall die Variation der Konstanten nicht)

Um dir meinen Fall weiter zu verdeutlichen:
Ich habe eine Aufgabensammlung vor mir, in der mehrere dieser Rezepte angeben sind.

so z.B.
Störfkt.: $\begin{eqnarray*} e^{ax} (n*cos (bx) + c*sin (bx) \end{eqnarray*}$
für gegebene a,b,c,n
ist a + ib Nullstelle des char. Polynoms, so sei k die Vielfachheit dieser Nullstelle, ansonsten ist k:=0.
Rezept:
$\begin{eqnarray*} y=x^ke^{ax}(d*cos(bx) + e*sin(bx)) \end{eqnarray*}$
für geeignet gewählte d und e ist y eine Lösung. (Nur für den partikulären Teil!)

Nun ist es aber so, dass ich nur Rezepte für Störfkt. habe, die sich aus Summanden zusammensetzen, nichts allzu Kompliziertes also. In dieser Aufgabensammlung gibt es keine inhomogene lineare DGL die eine Störfkt. z.B. vom Typ $\begin{eqnarray*} \frac {e^{3x}}{7x} \end{eqnarray*}$ haben oder eben $\begin{eqnarray*} tan (x) \end{eqnarray*}$ . Ich kann mir aber auch keine gute aus dem Ärmel schütteln (keine gut zum rechnen).
Ich hoffe wir reden nicht aneinander vorbei, aber ich bin der Meinung, dass man für das Rezept nur die Störfkt. braucht. Die Resonanzen (Vielfachheiten) kann man ja durch zusätzliche x darstellen.

11.09.2007, 17:50

mark

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okay, ich habe noch mal in der bib gestöbert und kann dir als DGL z.B.

$\begin{eqnarray*} y''+y' = tan(x) \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} y'' - y = \frac{2e^x}{e^x-1} \end{eqnarray*}$
anbieten. gleichzeitig steht in dem schmöker (wo auch die DGL standen), dass es keine strukturgleichen ansätze dazu gibt.
hat sich also erledigt.

11.09.2007, 19:22

vektorraum

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Danke für deine Rückmeldung. Ich habe mir gestern abend noch den Kopf zerbrochen, welchen Ansatz man nehmen könnte, aber dann beruhigt mich die Antwort erstmal in soweit, dass es also keinen solchen gibt.

Alles klar, ich danke dir!

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