hinreichendes Konvergenzkriterium

22.05.2011, 14:23

NastyNat

hinreichendes Konvergenzkriterium

Meine Frage:
Mir ist nicht ganz klar, warum

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty P(| X_n-X|\geq \epsilon) <\infty \end{eqnarray*}$

bloß ein hinreichendes Kriterium für P-f.s. Konvergenz von (X_n)_n ist und kein notwendiges?

Meine Ideen:
Es gilt ja:
Eine Folge von Zufallsvariablen ist f.s. konvergent genau dann wenn:

$\begin{eqnarray*} P(\bigcup \left\{ | X_m-X | \geq \epsilon\right\} \rightarrow 0 (n\rightarrow \infty ) \end{eqnarray*}$

Und es gilt:

$\begin{eqnarray*} P(\bigcup \left\{ | X_m-X | \geq \epsilon\right\} )\leq \sum\limits_{k=1}^\infty P(| X_n-X|\geq \epsilon) <\infty \end{eqnarray*}$

durch Anwendung der Bonferroni Ungleichung.

22.05.2011, 14:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von NastyNat
Und es gilt:

$\begin{eqnarray*} P(\bigcup \left\{ | X_m-X | \geq \epsilon\right\} )\leq \sum\limits_{k=1}^\infty P(| X_n-X|\geq \epsilon) <\infty \end{eqnarray*}$

durch Anwendung der Bonferroni Ungleichung.

Eben das ist ja nur das Argument dafür, dass es hinreichend ist!

Wenn man sich fragt, warum ein Kriterium nicht notwendig für eine bestimmte Aussage ist, dann sucht man doch am besten nach einem Beispiel, welches die Aussage, aber nicht das Kriterium erfüllt. Das ist hier nicht allzu schwer:

$\begin{eqnarray*} \Omega=[0,1] \end{eqnarray*}$ mit Lebesgue-Maß als W-Maß, $\begin{eqnarray*} X_n = 1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X = 0 \end{eqnarray*}$

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