Linearität zeigen

22.05.2011, 14:27	WF.	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearität zeigen Gegeben sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ -Vektorraum. Sei $\begin{eqnarray} V^ := \{f:V \longrightarrow \mathbb{R} \| \text{f linear}\} \end{eqnarray}$ sein Dualraum. Zu zeigen: $\begin{eqnarray} v: V^* \longrightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} v(w) = w(v)\ \forall w \in V^* \end{eqnarray}$ ist linear. Mein Ansatz bisher: Gezeigt werden soll: 1. $\begin{eqnarray} v(x+y) = v(x) + v(y)\ \forall x,y \in V^* \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} v(\lambda x) = \lambda v(x)\ \forall \lambda \in \mathbb{R}, x \in V^* \end{eqnarray}$ Zu 1: $\begin{eqnarray} v(x+y) = (x+y)(v) \end{eqnarray}$ . Hier hänge ich aber schon. Ich muss irgendwie zeigen, dass das gleich $\begin{eqnarray} v(x) + v(y) = x(v) + y(v) \end{eqnarray}$ ist. Ich sehe allerdings nicht wie. Irgendein Tipp, mit welchen Definitionen oder Axiomen man hier arbeiten soll? Bei explizit gegebenen Funktionen kann ich die Linearität ja problemlos zeigen, sowas wie $\begin{eqnarray} f(x) = 6x \end{eqnarray*}$ , aber hier ist ja keine explizite Funktion gegeben.
22.05.2011, 15:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Überleg Dir mal, aus welchem Raum x und y sind und was das für sie bedeutet.
22.05.2011, 16:15	WF.	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, x und y sind Elemente des Dualraums, also lineare Abbildungen. Damit gilt: $\begin{eqnarray} x(a+b) = x(a) + x(b) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a, b \in V \end{eqnarray}$ . Das Gleiche für y. Aber irgendwie übersehe ich den Zusammenhang trotzdem.
22.05.2011, 23:21	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, vergiss erst einmal den Hinweis und nutze nur die Tatsache, dass x und y Funktionen sind. Wie addiert man diese?

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