e_H in Im(f)?

22.05.2011, 15:42

piesk

e_H in Im(f)?

Hier eine wohl äußerst triviale Frage, aber heute steh ich wohl auf dem Schlauch
ich soll zeigen, dass Im(f) eine Untergruppe von H ist.
$\begin{eqnarray*} f: G \Rightarrow H \end{eqnarray*}$
Und das Bild von f sind ja alle Elemente, von H die angenommen werden, also müsste das neutrale Element von H doch im Bild liegen, oder?
daraus folgt dann das Im(f) nicht leer sein kann und eine Untergruppe von H ist nicht wahr???

22.05.2011, 16:21

zweiundvierzig

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RE: e_H in Im(f)?

Zitat:

Original von piesk
Und das Bild von f sind ja alle Elemente, von H die angenommen werden, also müsste das neutrale Element von H doch im Bild liegen, oder?

Ja.

Zitat:

Original von piesk
daraus folgt dann das Im(f) nicht leer sein kann und eine Untergruppe von H ist nicht wahr???

Dass $\begin{eqnarray*} \mathrm{im} f \end{eqnarray*}$ nichtleer ist, ist natürlich notwendig, aber noch nicht hinreichend zur Erfüllung der Untergruppenkriterien.

22.05.2011, 16:24

piesk

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RE: e_H in Im(f)?
naja aber wenn $\begin{eqnarray*} e_{H} \end{eqnarray*}$ in U liegt, dann ist ja e mit e verknüpft auch in der Untergruppe weil e ja neutral ist.
also ist ja e zu sich selbst invers und eben auch zu sich selbst neutral also habe ich eine Untergruppe...

22.05.2011, 16:27

zweiundvierzig

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Du hast jetzt mehr oder weniger begründet, warum die triviale Gruppe $\begin{eqnarray*} \{ e_H \} \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ist, aber darum geht es gar nicht: Untergruppe (Wikipedia)

Betrachte beliebige Elemente in $\begin{eqnarray*} \mathrm{im} f \end{eqnarray*}$ und zeige, dass deren Produkt und Inverses wieder in $\begin{eqnarray*} \mathrm{im} f \end{eqnarray*}$ liegt.

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