Lineare Abbildungen, Kern, Bild und Isomorphismus

22.05.2011, 17:49

Jiga

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Lineare Abbildungen, Kern, Bild und Isomorphismus

Meine Frage:
Die Abbildung:
$\begin{eqnarray*} I:C(\mathbb{R})\to C(\mathbb{R}),g\to (x\to \int_0^x \! g(t)dt) \end{eqnarray*}$
ist R-linear. Bestimmen Sie den Kern und das Bild von I. Folgern Sie, dass I einen linearen Isomorphismus zwischen C(R) und dem Bild von I induziert.

Meine Ideen:
Hi Leute,
sitze vor dieser Aufgabe und habe leider überhaupt keine Ahnung wo ich anfangen soll. Wollte deshalb (nach langen erfolglosen suchen im Internet und in diesem Forum, nach geeigneten Beispielen, die mir dabei helfen könnten diese Aufgabe zu verstehen) euch mal fragen ob ihr denn so ein Beispiel für mich hättet. Wäre vom Vorteil wenn das nicht so kompliziert wäre wie das da oben^^. Oder gibts es hier jemanden der mir das vllt erklären könnte? ;D

22.05.2011, 17:53

zweiundvierzig

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Der Raum $\begin{eqnarray*} C(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ steht für die stetigen Funktionen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Die Abbildung $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ bildet eine solche Funktion auf die zugehörige Integralfunktion ab, welche insbesondere selbst wieder stetig ist.

Fang doch mal an, die Linearität von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ zu prüfen. Was musst Du dafür zeigen?

22.05.2011, 18:09

Jiga

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Danke erstmal für die schnelle Antwort^^

Also wenn ich mich nicht täusche und mein Skript richtig verstanden habe dann doch , dass es ein $\begin{eqnarray*} x,y \in C(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ,sodass gilt...
I(ax)=a*I(x) und I(x+y)=I(x)+I(y).

Aber ehrlich gesagt wenn ich mir das so angucke, bringt mich das nicht weiter bzw. ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.^^'

22.05.2011, 18:12

Jiga

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upps hab aus dem skript übernommen natürlich ist das a ein k ^^

22.05.2011, 18:17

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Jiga
Also wenn ich mich nicht täusche und mein Skript richtig verstanden habe dann doch , dass es ein $\begin{eqnarray*} x,y \in C(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ,sodass gilt...
I(ax)=a*I(x) und I(x+y)=I(x)+I(y).

Diese Gleichungen müssen für alle Elemente aus dem Vektorraum und dem Körper erfüllt sein! Und am besten, Du schreibst lieber $\begin{eqnarray*} f,g \in C(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ , weil es sich hier ja um Funktionen handelt.

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} I(f + g) = I(f) + I(g) \end{eqnarray*}$ steht für Gleichheit von Funktionen. Der Term $\begin{eqnarray*} I(f) \end{eqnarray*}$ z.B. ist z.B. eben selbst wieder eine Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Gleichheit von Funktionen bedeutet, an jedem Punkt ausgewertet ergeben die betrachteten Funktionen denselben Wert, also wollen wir für eine beliebige reelle Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zeigen $\begin{eqnarray*} I(f + g)(x) = I(f)(x) + I(g)(x) \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet diese Beziehung denn mit der Definition von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ausgeschrieben?

22.05.2011, 18:53

Jiga

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Hm und schon stehe ich ein bisschen auf dem Schlauch...

Also um deine Frage zu beantworten, muss ich doch einfach zwei Funktionen finden, die für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ auf Integralfunktionen abbilden, die mir für x den gleichen Wert liefern oder?

Hm ... also hoffe, dass ich dich da richtig verstanden habe^^ ... ist meine erste Aufgabe in dieser Form ... finde ein bisschen heftig für den Anfang.

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22.05.2011, 19:01

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Jiga
Also um deine Frage zu beantworten, muss ich doch einfach zwei Funktionen finden, die für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ auf Integralfunktionen abbilden, die mir für x den gleichen Wert liefern oder?

Naja, nicht einfach zwei Funktionen, sondern diese Gleichung soll für beliebig gewählte Funktionen gelten. Beantworte doch mal meine Frage in einer Formel:

Zitat:

Original von zweiundvierzig
[...] $\begin{eqnarray*} I(f + g)(x) = I(f)(x) + I(g)(x) \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet diese Beziehung denn mit der Definition von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ausgeschrieben?

22.05.2011, 19:39

greeven

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Läuft das auf die Summenregel für das Integral hinaus?

22.05.2011, 19:54

Jiga

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Hm ... ich probiere es

$\begin{eqnarray*} x \to \int_o^x \! f(t)+g(t) \, dt =x \to \int_0^x \! f(t) \, dt + x \to \int_0^x \! g(t) \, dt \end{eqnarray*}$ ? Meinst du das so? Bin gerade teilweise am raten, weil mich gerade diese Integralfunktionen echt verwirren...

22.05.2011, 20:11

zweiundvierzig

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Du hast das etwas ungünstig notiert, aber ja, darauf wollte ich hinaus. Am besten, Du schreibst das ganze als ausgewertete Gleichung an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hin, d.h. Du lässt " $\begin{eqnarray*} x \mapsto \end{eqnarray*}$ " weg.

Warum ist diese Gleichung denn richtig?

22.05.2011, 20:37

Jiga

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Also nochmal richtig notiert wäre das dann so...

$\begin{eqnarray*} \int_0^x \! f(t)+g(t) \, dt =\int_0^x \! f(t) \, dt + \int_0^x \! g(t) \, dt \end{eqnarray*}$
und das könnte ich doch prüfen, indem ich die Integrale doch einfach wie üblich ausrechne oder?

Hier mein Versuch... man kann die summe im Integral ja so hinschreiben ...
$\begin{eqnarray*} \int_0^x \! f(t) \, dt + \int_0^x \! g(t) \, dt =\int_0^x \! f(t) \, dt + \int_0^x \! g(t) \, dt \end{eqnarray*}$

und eigentlich ist ja die schon die Gleichheit gezeigt. Man kann zwar noch die Integrale auflösen aber das führt ja auf die selbe Feststellung.
So soweit habe ich das jz. muss ich noch die zweite Bed. der Linearität zeigen oder?

22.05.2011, 20:43

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Jiga
$\begin{eqnarray*} \int_0^x \! f(t)+g(t) \, dt =\int_0^x \! f(t) \, dt + \int_0^x \! g(t) \, dt \end{eqnarray*}$
und das könnte ich doch prüfen, indem ich die Integrale doch einfach wie üblich ausrechne oder?

Ich nehme mal an, dass Du mit "wie üblich" die auch von greeven erwähnte "Summenregel" meinst. An der liegt es zumindest.

Wie Du weiter richtig sagst, musst Du Dir jetzt noch angucken, was bei Skalarmultiplikation passiert.

22.05.2011, 20:50

Jiga

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^^ hab greeven post ja total übersehen

Naja jz zu der Skalarmult.
Das wäre dann...
$\begin{eqnarray*} \int_0^x \! k*f(t) \, dt = k*\int_0^x \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$
und diese Gleichheit wäre ja dann auch gegeben. Also ist I eine lineare Abbildung aber wie bringt mich denn dies jz weiter? ^^

22.05.2011, 21:47

Jiga

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Kann mir einer sagen ob das jz richitg ist....

Ich habe die Linearität von I nachgewiesen, wobei die eigentlich gegeben war, bin deshalb ein bisschen verwirrt...

(*)Seien V und W Vektorräume und eine lineare Abbildung.

Jz. will ich den Kern von I bestimmen: Def. angewandt an (*): $\begin{eqnarray*} \left\{ v \in V | f(v)=0 \right\} \end{eqnarray*}$

Angewandt auf I muss ich also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \int_0^x \! g(t) \, dt=0 \end{eqnarray*}$ gilt oder? D.h. dies ist dann erfüllt wenn x=0 ist und somit ist mein ker(I)={0} wenn ich mich nicht irre.

Nun zum Bild von I: Def. angewandt an (*): $\begin{eqnarray*} im(f)=f(V)=\left\{ w \in W | \exists v \in V : f(v)=w \right\} \end{eqnarray*}$

Angewandt auf I muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \int_0^x \! g(t) \, dt=x \end{eqnarray*}$ gilt und somit mein $\begin{eqnarray*} im(I)=\mathbb {R} \end{eqnarray*}$

22.05.2011, 22:07

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Jiga
Ich habe die Linearität von I nachgewiesen, wobei die eigentlich gegeben war, bin deshalb ein bisschen verwirrt...

Nein, die war nicht gegeben, sondern nachzuweisen. Der Punkt ist, dass sie unmittelbar aus der Linearität des Integrals folgt, weshalb der Beweis selbst kaum Inhalt hat.

Zitat:

Original von Jiga
Angewandt auf I muss ich also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \int_0^x \! g(t) \, dt=0 \end{eqnarray*}$ gilt oder? D.h. dies ist dann erfüllt wenn x=0 ist und somit ist mein ker(I)={0} wenn ich mich nicht irre.

Wir betrachten hier eine Abbildung zwischen Funktionenräumen, wie bereits erklärt. Die Elemente im Kern müssen also selbst wieder Funktionen sein, d.h. keine reelle Zahlen! Die Annahme $\begin{eqnarray*} f \in \ker I \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} I(f) \end{eqnarray*}$ die Nullfunktion ist, also $\begin{eqnarray*} I(f)(x) = \int_0^x f(t) \mathrm d t = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Für welche $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist dies erfüllt?

Zitat:

Original von Jiga
Angewandt auf I muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \int_0^x \! g(t) \, dt=x \end{eqnarray*}$ gilt und somit mein $\begin{eqnarray*} im(I)=\mathbb {R} \end{eqnarray*}$

Auch hier kann aus analogem Grund wie oben das Bild nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein, sondern auf jeden Fall eine Teilmenge des Funktionenraums $\begin{eqnarray*} C(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ . Die Frage ist also: welche stetigen Funktionen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ können wir als Integralfunktionen auffassen?

22.05.2011, 22:49

Jiga

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Okay danke. Hätte das echt so nicht gedacht, dass man das wirklich noch beweisen muss.

Ja und das mit Funktionsraum C(R) hatte ich irgendwie total aus dem Augen verloren.
Dann zu deinem Vorschlag...

Kern von I: vielleicht die Funktion f(0)
Bild von I: f(t)

Ansonsten tu ich mich gerade echt schwer eine Funktion zu finden die dies erfüllt.

22.05.2011, 23:31

greeven

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Alle nicht konstanten stetigen Funktionen?

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