Übergangsmatrix und Fixvektor bestimmen

22.05.2011, 19:57

studYY

Übergangsmatrix und Fixvektor bestimmen

Guten Abend.

Zu lösend sind a,b, und c.

[attach]19747[/attach]

a) :
Bei a fangen die Probleme schon an.
Ich denke die drei einzelnen Betriebseinheiten werden durch 1,2 und 3 dargestellt, was 0 darstellt weiß ich aber nicht.

b) :
Als Übergangsmatrix habe ich diese hier: ( jedoch ohne 0 berücksichtigt zu haben)
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} p & p^2 & 3p^2(1-p) \\ 1-p & 2p(1-p) & 3p(1-p)^2\\ 0 & (1-p)^2 & (1-p)^3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Höchstwahrscheinlich muss ich 0 auch in die Übergangsmatrix miteinbeziehen?

Danke.

26.05.2011, 12:48

Hubert1965

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Das Diagramm ist ein Zustandsdiagramm, das die vier Zustände 0, 1, 2 und 3 darstellt.
Die Pfeile mit den anhaftenden Funktionen von p sind die Übergangswahrscheinlichkeiten. Nachdem jeder Zustand mit Sicherheit wieder in einen Zustand übergeht (in einen anderen oder auch in sich selbst), müssen die Werte aller Pfeile, die von einem Zustand wegführen, in Summe genau 1 ergeben.

Vom Zustand 0 führt nur ein Pfeil weg, daher ist diese Übergangswahrscheinlichkeit gleich 1.

Vom Zustand 1 führen zwei Pfeile weg (einer zum Zustand 2 und einer zu Zustand 1, also zu sich selbst). Die beiden Werte (1-p und p) ergeben in Summe 1.

Vom Zustand 2 führen drei Pfeile weg:
Zum Zustand 1: Wahrscheinlichkeit = p²
Zum Zustand 2: Wahrscheinlichkeit = 2p(1-p)
Zum Zustand 3: Wahrscheinlichkeit = (1-p)²
Auch diese drei ergeben in Summe 1

Vom Zustand 3 gehen gleich 4 Pfeile weg, die Wahrscheinlichkeiten dieser 4 Übergänge ergeben in Summe ebenfalls 1

Diese Übergänge kannst du in eine 4x4-Matrix schreiben. Dazu gehört dann noch ein Vektor mit 4 Dimensionen. Die vier Dimensionen stehen für die vier möglichen Zustände, und der jeweilige Wert in einer Dimension gibt an, wieviele Maschinen sich gerade in diesem Zustand befinden.

Einer dieser Zustände (Zustand 0) scheint zu bedeuten: Die Maschine arbeitet nicht einwandfrei. Denn von diesem Zustand ausgehend gelang man mit Sicherheit zu einem anderen Zustand (nämlich zu Zustand 1). Dieser Übergang mit 100%-Wahrscheiunlichkeit entspricht in der Angabe diesem Satz: "Falls dies nicht der Fall ist [wenn also die Maschine nicht einwandfrei arbeitet] kann die Reparatur einer Maschine bis zum nächsten Kontrollzeitpunkt erfolgen".

Was die Zustände 1, 2 und 3 bedeuten, geht aus der Angabe aber nicht hervor.

29.05.2011, 15:24

studYY

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Vielen Dank Hubert1965,
für deine ausführliche Antwort bei der mir fast alles klar geworden ist smile

Zitat:

Diese Übergänge kannst du in eine 4x4-Matrix schreiben.

1.Spalte / 1.Zeile - 0
2.Spalte / 2.Zeile - 1
3.Spalte / 3.Zeile - 2
4.Spalte / 4.Zeile - 3

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & p^3 \\ 1 & p & p^2 & 3p^2(1-p)) \\ 0 & 1-p & 2p(1-p) & 3p(1-p) \\ 0 & 0 & (1-p)^2 & (1-p)^3\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Dazu gehört dann noch ein Vektor mit 4 Dimensionen.

Hier bin ich mir nicht ganz sicher.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank nochmal Hurbert.

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