Automorphismengruppe x^6+2 [ÜAB]

23.05.2011, 01:20

tigerbine

Automorphismengruppe x^6+2 [ÜAB]

Zitat:

Zu zeigen: Die Automorpismengruppe eines Zerfällungskörpers von $\begin{eqnarray*} x^6+2 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist isomorph zur $\begin{eqnarray*} D_{12} \end{eqnarray*}$

Sei L der Zerfällungskörper und $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ eine primitive sechste Einheitswurzel. So müßte doch gelten $\begin{eqnarray*} L=\mathbb Q(\xi, \sqrt[6]{2}) \end{eqnarray*}$ und der Grad der Körpererweiterung ist 12. Minimalpolynome $\begin{eqnarray*} x²-x+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^6-2 \end{eqnarray*}$ .

Wie geht man nun geschickt vor, um die Galoisgruppe zu bestimmen? Es ist die $\begin{eqnarray*} D_{12}\cong C_2 \ltimes C_6 \end{eqnarray*}$ . Kann man das hier irgendwo einsetzen?

23.05.2011, 02:35

juffo-wup

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Ich würde so vorgehen (bin aber erstmal nicht mehr online) :
1. $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\xi)/\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist normal vom Grad 2. (klar)
2. $\begin{eqnarray*} Gal(\mathbb{Q}(\xi,\sqrt[6]{2})/\mathbb{Q}(\xi)) \cong C_6 \end{eqnarray*}$ (lässt sich ganz konkret durch Betrachten der 6 Möglichkeiten das erzeugende Element $\begin{eqnarray*} \sqrt[6]{2} \end{eqnarray*}$ abzubilden sehen)
3. Die Gruppe $\begin{eqnarray*} G=Gal(\mathbb{Q}(\xi,\sqrt[6]{2})/\mathbb{Q}) \end{eqnarray*}$ enthält also einen Normalteiler N isomorph zu $\begin{eqnarray*} C_6 \end{eqnarray*}$ (Normalkörper entsprechen normalen Untergruppen). Die komplexe Konjugation liefert eine Untergruppe H isomorph zu $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ , wobei nach Definition von N gilt $\begin{eqnarray*} H\cap N=\{id\} \end{eqnarray*}$ und aus Gradgründen $\begin{eqnarray*} HN=G. \end{eqnarray*}$
4. Es liegt daher das gewünschte semidirekte Produkt vor.

23.05.2011, 09:28

tigerbine

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Zitat:

Original von juffo-wup
Ich würde so vorgehen (bin aber erstmal nicht mehr online) :
1. $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\xi)/\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist normal vom Grad 2. (klar)
2. $\begin{eqnarray*} Gal(\mathbb{Q}(\xi,\sqrt[6]{2})/\mathbb{Q}(\xi)) \cong C_6 \end{eqnarray*}$ (lässt sich ganz konkret durch Betrachten der 6 Möglichkeiten das erzeugende Element $\begin{eqnarray*} \sqrt[6]{2} \end{eqnarray*}$ abzubilden sehen)

Da ist es wichtig, dass ich es so rum aufbaue? Damit beide Erweiterungen galoisch sind?

Zitat:

3. Die Gruppe $\begin{eqnarray*} G=Gal(\mathbb{Q}(\xi,\sqrt[6]{2})/\mathbb{Q}) \end{eqnarray*}$ enthält also einen Normalteiler N isomorph zu $\begin{eqnarray*} C_6 \end{eqnarray*}$ (Normalkörper entsprechen normalen Untergruppen). Die komplexe Konjugation liefert eine Untergruppe H isomorph zu $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ , wobei nach Definition von N gilt $\begin{eqnarray*} H\cap N=\{id\} \end{eqnarray*}$ und aus Gradgründen $\begin{eqnarray*} HN=G. \end{eqnarray*}$
4. Es liegt daher das gewünschte semidirekte Produkt vor.

Was konjugierst du?

Wir hatten hier mal ein direktes Produkt von Galoisgruppen: Minimalpolynom über Q (1) [KAB]

Wann geht so was? Wenn die "kleinen" Erweiterungen über dem Grundkörper galoisch sind und nur den trivial Schnitt "Grundkörper" haben?
Hier geht das also nicht, weil $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[6]{2})|\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ nicht galoisch ist?

23.05.2011, 13:06

juffo-wup

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Zitat:

Original von tigerbine
Da ist es wichtig, dass ich es so rum aufbaue? Damit beide Erweiterungen galoisch sind?

Aus 1. folgt, dass $\begin{eqnarray*} Gal(\mathbb{Q}(\xi,\sqrt[6]{2})/\mathbb{Q}(\xi)) \end{eqnarray*}$ ein Normalteiler von $\begin{eqnarray*} Gal(\mathbb{Q}(\xi,\sqrt[6]{2})/\mathbb{Q}) \end{eqnarray*}$ ist. Allerdings kann man das auch am Index 2 ablesen, also ist es hier nicht wirklich nötig das so zu sehen.

Zitat:

Was konjugierst du?

Die Konjugation eingeschränkt auf L ist ein Automorphismus von L. Da die Konjugation selbstinvers ist, liefert das eine 2-elementige Untergruppe der Galoisgruppe.

Zitat:

Wir hatten hier mal ein direktes Produkt von Galoisgruppen: Minimalpolynom über Q (1) [KAB]

Wann geht so was? Wenn die "kleinen" Erweiterungen über dem Grundkörper galoisch sind und nur den trivial Schnitt "Grundkörper" haben?

Ja, genau in dem Fall.

Zitat:

Hier geht das also nicht, weil $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[6]{2})|\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ nicht galoisch ist?

Richtig.

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