Münzwurf.

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23.05.2011, 11:49	Cbgirl	Auf diesen Beitrag antworten »
Münzwurf. Es sei $\begin{eqnarray} n\geq 4 \end{eqnarray}$ . Es wird eine faire Münze n-mal geworfen. Es sei $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ das Ereignis, dass höchstens 2x das Kopf in diesen n-mal Versuchen erscheint. Weiter sei $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ die Zufallsgröße, die die Summe der Anzahl der Wappen in n Versuchen beschreibt. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A_n ich habe es für n=4 berechnet: $\begin{eqnarray} P: \{ kkzz, kzkz, kzzk, zkkz, zkzk, zzkk, zzzz, kzzz, zkzz, zzkz, zzzk \} = 11/16 \end{eqnarray}$ aber ich weiß nicht wie ich das für $\begin{eqnarray} n\geq 4 \end{eqnarray}$ berechnen soll...
23.05.2011, 12:35	Nutzername	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis für n=4 ist richtig, aber wie du selbst merkst schwer zu verallgemeinern. Ich schlage daher vor, zu zerlegen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei n Würfen keinen Kopf zu werfen? Wie groß ist sie für 1 und 2 Köpfe?
23.05.2011, 13:58	Cbgirl	Auf diesen Beitrag antworten »
ok also keinen Kopf: $\begin{eqnarray} P_1=\frac{1}{2^n} \end{eqnarray}$ 1-mal Kopf: $\begin{eqnarray} P_2=\frac{\frac{n!}{(n-1)!}}{2^n} \end{eqnarray}$ 2-mal Kopf: $\begin{eqnarray} P_3=\frac{\frac{n!}{2!(n-2)!}}{2^n} \end{eqnarray}$ also für höchstens 2mal: $\begin{eqnarray} P= P_1 +P_2+P_3 \end{eqnarray}$ stimmt das so?
23.05.2011, 14:02	Nutzername	Auf diesen Beitrag antworten »
wunderbar
23.05.2011, 14:09	Cbgirl	Auf diesen Beitrag antworten »
hm... in der Teilaufgabe b) soll ich die Einzelwahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray} p^{(n)}_k=P(X_n=k\|A_n), k=0,1,2 \end{eqnarray}$ berechnen. Das sind doch genau die, die ich oben gerechnet habe, oder? (also die P_1, P_2, P_3)?
23.05.2011, 14:31	Nutzername	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir gerade auch leicht unsicher, aber du müsstest mit deiner Vermutung recht haben. Kann das noch jemand anderes bestätigen?
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23.05.2011, 15:03	Sumgoku	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, Du hast P(X_n =k) berechnet. Für die bedingten wahrscheinlichkeiten musst Du Dir nochmal die Definition davon anschauen
23.05.2011, 15:12	Cbgirl	Auf diesen Beitrag antworten »
hm.. dann weiß ich nicht weiter... :/ kann mir jmd. erklären wie ich die einzelnwahrscheinlichkeiten für dieses beispiel berechnen soll?
23.05.2011, 17:33	Sumgoku	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ihr bedingte wahrscheinlichkeiten hattet, dann schau dir die definition davon an. wenn nicht, dann dürfte die aufgabe unlösbar sein
23.05.2011, 18:28	BarneyG.	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir doch mal die Definitionen an: Es sei $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ das Ereignis, dass höchstens 2x das Kopf in n-mal Versuchen erscheint. Weiter sei $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ die Zufallsgröße, die die Summe der Anzahl der Wappen in n Versuchen beschreibt. Nun ist die folgende Wahrscheinlichkeit gesucht: $\begin{eqnarray} p^{(n)}_k=P(X_n=k\|A_n), k=0,1,2 \end{eqnarray}$ Machen wir das doch mal für n = 4 und k = 0. In diesem Fall weißt du, dass in 4-Würfen höchstens zweimal Kopf erschienen ist. Wie groß ist also unter dieser Bedingung die Wahrscheinlichkeit, dass in diesen vier Würfen genau Null mal Wappen auftrat? Ich würde mal vermuten, dass diese Wahrscheinlichkeit ziemlich klein ist! Jetzt machen wir das mal für k = 2 und n = 4. Diese Wahrscheinlichkeit dürfte größer als Null sein ... Aber kleiner als Eins ist sie auch ... Na, jetzt solltest du schon ein wenig forschen können ... Vielleicht berechnest du die Wahrscheinlichkeiten erst mal für n=4 und k=0,1,2 ... und dann versuchst du das für ein allgemeines n zu lösen ...
23.05.2011, 19:27	Cbgirl	Auf diesen Beitrag antworten »
ok. ich habe die Wahrscheinlichkeit für A_n berchnet_ $\begin{eqnarray} p(A_n)=(\frac{1}{2})^n(\frac{2+n^2+n}{2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(X_n=k\|A_n)= \frac{2* \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}}{2+n^2+n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p^{(n)}_{0}= \frac{2}{2+n^2+n}<br /> p^{(n)}_{1}= \frac{2n}{2+n^2+n}<br /> p^{(n)}_{2}= \frac{n)n-1)}{2+n^2+n} \end{eqnarray*}$ und nun muss ich noch das erste moment berechnen... wie macht man das?

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