Norm beweise

23.05.2011, 12:07

ChronoTrigger

Norm beweise

Hi,

folgende Aufgabe bereitet mir Probleme:

Zitat:

Es sei V ein K-Vektorraum, $\begin{eqnarray*} dim(V)=N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und es sei $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,...,v_N \end{eqnarray*}$ eine Basis von V.

Weiter sei $\begin{eqnarray*} T: V \to K^N \end{eqnarray*}$ definiert als $\begin{eqnarray*} T(v_i):=e_i, i \in \{1,2,...,N \} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} T(\sum\limits_{i=1}^N a_i v_i) =\sum\limits_{i=1}^N a_iT(v_i) \end{eqnarray*}$ .

a) Es sei $\begin{eqnarray*} || \cdot ||_V \end{eqnarray*}$ eine Norm auf V und es sei $\begin{eqnarray*} || \cdot ||_* \end{eqnarray*}$ eine Norm auf $\begin{eqnarray*} K^N \end{eqnarray*}$ .

Zeige, dass sowohl durch $\begin{eqnarray*} || \cdot ||_* \end{eqnarray*}$ (über T) eine Norm auf V induziert wird, als auch durch $\begin{eqnarray*} || \cdot ||_V \end{eqnarray*}$ (über T) eine Norm auf $\begin{eqnarray*} K^N \end{eqnarray*}$ induziert wird.

b) Beweise, dass zwei beliebige Normen auf $\begin{eqnarray*} || \cdot ||_1, || \cdot ||_2 \end{eqnarray*}$ auf V zueinander äquivalent sind.

Bisher habe ich mir folgendes überlegt:

Da V ein Vektorraum und $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,....,v_N \end{eqnarray*}$ Basis von V, kann ich jedes $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ darstellen als

$\begin{eqnarray*} v=\sum\limits_{i=1}^N a_i v_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_i \in K \end{eqnarray*}$

und dann ist $\begin{eqnarray*} T(v)=T(\sum\limits_{i=1}^N a_iv_i )=\sum\limits_{i=1}^N a_iT(v_i)=\sum\limits_{i=1}^N a_ie_i \end{eqnarray*}$

jetzt ist mir aber nicht klar, was ich bei Teil a) genau zeigen muss.
Muss ich hier einfach die Norm Eigenschaften anhand der Abbildung T zeigen?

zum Teil b) habe ich momentan noch keine Ideen.

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

danke schonmal im voraus.

23.05.2011, 13:55

gonnabphd

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Hi,

Zitat:

jetzt ist mir aber nicht klar, was ich bei Teil a) genau zeigen muss. Muss ich hier einfach die Norm Eigenschaften anhand der Abbildung T zeigen?

Bei a) musst du dir erstmal Gedanken darüber machen, wie die "durch T induzierte Norm" definiert sein sollte. Wenn du das hast, musst du noch die Normeigenschaften überprüfen, ja.

Grüsse Wink

23.05.2011, 14:20

ChronoTrigger

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danke für den tipp.

Ich denke, dass dann $\begin{eqnarray*} ||x||_V=|T(x)| \end{eqnarray*}$ ist.

Für die auf $\begin{eqnarray*} K^N \end{eqnarray*}$ induzierte Norm müsste das doch dann genau die gleiche sein, oder?

23.05.2011, 17:27

gonnabphd

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Zitat:

Für die auf $\begin{eqnarray*} K^N \end{eqnarray*}$ induzierte Norm müsste das doch dann genau die gleiche sein, oder?

Righty-right.

Wink

23.05.2011, 21:43

ChronoTrigger

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alles klar, damit wäre teil a) erledigt.

Hast du vielleicht noch einen Tipp zum teil b) ?

ich weiß, dass zwei Normen in einem endlich dimensionalen Vektorraum äquivalent sind, und dass V isomorph zu $\begin{eqnarray*} K^N \end{eqnarray*}$ ist aus Dimensionsgründen, aber ich weiß nicht, wie ich die Aussage zeigen kann.

24.05.2011, 18:32

gonnabphd

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Zitat:

b) Beweise, dass zwei beliebige Normen auf $\begin{eqnarray*} || \cdot ||_1, || \cdot ||_2 \end{eqnarray*}$ auf V zueinander äquivalent sind.

Ich denke, dass ihr eben tatsächlich maximal wisst, dass für jedes natürliche N zwei Normen auf $\begin{eqnarray*} K^N \end{eqnarray*}$ (!) äquivalent sind. (sonst wäre b) mit einem schlichten siehe satz blablabla aus der Vorlesung zu beantworten - was kaum der Fall ist)

Tipp:
Mit a) kannst du nun zu diesem Paar von Normen $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_1, \, \|\cdot\|_2 \end{eqnarray*}$ auf V ein anderes Paar auf $\begin{eqnarray*} K^N \end{eqnarray*}$ angeben, so dass der Isomorphismus, von dem du gesprochen hast, jeweils eine Isometrie ist. Folgere daraus die Aussage!

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