Stochastische Konvergenz und Doppelsumme

11.12.2006, 10:50	fred@mannheim	Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastische Konvergenz und Doppelsumme Seien die ZVen $\begin{eqnarray} X_1,...,X_n \end{eqnarray}$ poissonverteilt mit Parameter $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} Pois(\lambda) \end{eqnarray}$ für alle i=1,...,n. Für die Kovarianz zwischen den ZVen gelte $\begin{eqnarray} Cov(X_i,X_j)=\frac{1}{2\|i-j\|^2}\lambda \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i \neq j \end{eqnarray}$ . Ferner sei der Schätzer von $\begin{eqnarray} \lambda = 1/n \sum_{i=1}^n~X_i \end{eqnarray}$ . z.Z.: Konvergiert der Schätzer für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ stochastisch (für $\begin{eqnarray} n \to inf \end{eqnarray}$ )? Was ist der Grenzwert? Ich habe in obiger Aufgabe gleich zwei Fragen: (1) Gibt es ein Patentrezept für stochastische Kovergenzbeweise, wie z.B. dass man immer zeigen muss, dass der EW --> c und Var --> 0? (2) Wie forme ich Doppelsummen um? Gibt es dafür vielleicht auch einen Trick? Wie hat z.B. diese Umformung stattgefunden?: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n~ \frac{1}{(i-j)^2}= \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=1}^{n-i}~ \frac{1}{j^2} \end{eqnarray}$
11.12.2006, 10:53	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
zu (2): deine umformung ist eine einfache indexverschiebung in der zweiten summe... zu doppelsummen im allgemeinen: man kann umsortieren, da muss man dann mal ein bisschen drüber nachdenken, ob man alles summiert hat und nicht zuviel mfG 20
11.12.2006, 11:01	fred@mannheim	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie funktioniert eine solche Indexverschiebung denn genau? Wenn ich zB wie hier in dem Summenzeichen i abziehe, kann ich dann einfach im Bruch auch i abziehen?
11.12.2006, 11:30	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
ich überlege mir das meistens so: ich setze den ersten und den letzten index ein und gucke, was dann in der summe steht. hier also 1 und n-i (jeweils quadratisch im nenner) jetzt überlege ich mir, was ich haben will, also hier j^2 im nenner, und dann wähle ich einfach den startindex und den endindex so, dass der anfang und das ende mit dem vorherigen übereinstimmen. mfG 20
11.12.2006, 12:38	fred@mannheim	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir von ganzem Herzen. Aber irgendwie komme ich nicht auf das letzte Element der Summe. Beim ersten setzte ich für i=1, das erste Element von j ist dann gleich 2 --> 1/(1-2)^2. Aber beim letzten Element denke ich setzte ich i=n-1 und j=n -->1/(n-1-n)^2. Was mache ich denn da falsch? Danke Dir bereits im Voraus für deine Hilfe!!!
11.12.2006, 12:52	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
bei der indexverschiebung verschiebst du nur j, die erste summe (die über i) hat damit nichts zu tun. mfg 20
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11.12.2006, 13:16	fred@mannheim	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre der letzte Nenner aber dann nicht 1/(i-n)^2 anstatt 1/(n-i)^2?
11.12.2006, 14:20	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch das Quadrat sind beide Zahlen gleich!!!
11.12.2006, 14:38	fred@mannheim	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Arthur....wie dumm von mir

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