R-Lineare Abbildung von R4-->R3

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11.12.2006, 11:01	Buef	Auf diesen Beitrag antworten »
R-Lineare Abbildung von R4-->R3 Gibt es R-Lineare Abbildungen $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ die die folgenden Vektoren $\begin{eqnarray} a_i \in \mathbb {R}^4 \end{eqnarray}$ jeweils auf die angebebenen Vektoren $\begin{eqnarray} b_i \in \mathbb {R}^3 \end{eqnarray}$ abbilden? $\begin{eqnarray} a_1 = (1,1,0,0) ; a_2 = (1,1,1,0) ; a_3 = (0,1,1,1) a_4 = (0,0,1,1); \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_1 = (1,2,3) ; b_2 = (2,3,1) ; b_3 = (3,1,2) ; b_4 = (2,0,4) \end{eqnarray}$ 1) Kann man einfach bei a den untersten Vektor weglassen? 2) Oder muss man das mit einer Matrize irgendwie multiplizieren? Wenn ja, kann mir jemand sagen wir man das dann rechnet? zu 1) Demnach müsste $\begin{eqnarray} \lambda_1 a_{1,1} + \lambda_2 * a_{2,1} + \lambda_3 * a_{3,1} + \lambda_4 * a_{4,1} = b_1 \end{eqnarray}$ sein also $\begin{eqnarray} \lambda_1 * 1 + \lambda_2 * 1 + \lambda_3 * 0 + \lambda_4 * 0 = 1 \end{eqnarray}$ Dieses halt für den ersten Fall. Jedoch weiß ich nicht, wie man das dann mit $\begin{eqnarray} \lambda_1 * 0 + \lambda_2 * 0 + \lambda_3 * 1 + \lambda_4 * 1 = ??? \end{eqnarray*}$ machen sollte... usw. ist der ansatz richtig? Zu 2) Ich vermute, dass man die Matrizen irgendwie zusammenrechnen muss, nur wie weiß ich nicht
11.12.2006, 12:38	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede solche lineare Abbildung lässt sich ja durch eine Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ darstellen. Eine Möglichkeit wäre also, anzusetzen: $\begin{eqnarray} Aa_1=b_1 \\ Aa_2=b_2 \\ Aa_3=b_3 \\ Aa_4=b_4 \end{eqnarray}$ . Jetzt kannst du $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{34} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ansetzen und erhältst durch Einsetzen ein GLS. Lässt sich das lösen, dann gibt es eine solche lineare Abbildung. Wenn sich ein Widerspruch beim Lösen des GLS ergibt, dann gibt es keine solche lineare Abbildung. Gruß MSS
11.12.2006, 13:02	Buef	Auf diesen Beitrag antworten »
okay dann erhalte ich folgendes $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1& 2 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann wäre die erste zeile $\begin{eqnarray} 1 \alpha_1 + 1 * \alpha_2 = 1 \end{eqnarray*}$ so richtig?
11.12.2006, 13:09	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese zwei Matrizen sind nicht gleich! Was soll denn diese Gleichung bedeuten? Zusammenfassend kannst du höchstens schreiben: $\begin{eqnarray} A\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{34} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
11.12.2006, 13:23	pompasier	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R-Lineare Abbildung von R4-->R3 Hallo! Kann ich hier nicht auch auf folgende Weise argumentieren: Die Vektoren a1,a2,a3,a4 bilden eine Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R 4 \end{eqnarray}$ und gemäß dem Satz: Es sei V ein K-VR mit Erzeugendensystem a1,...an. Sind dann b1,...bn beliebige Vektoren eines weiteren K-VR V´, so gilt: (i)... (ii) Bilden a1,...an sogar eine Basis von V, so ex genau eine K-lineare Abb f: V->V´ mit f(ai) = bi, i=1,..n. Demanch habe ich doch schon die Antwort, nämlich dass genau eine lineare Abb ex.?? Gruß
11.12.2006, 13:49	Buef	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für alle die das auch rechenen wollen. hier ein guter link http://de.wikipedia.org/wiki/Matrix_%28M...nmultiplikation
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11.12.2006, 13:51	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@pompasier Ja, das geht natürlich auch. Ich wusste nur nich, ob Buef das auch schon weiß, deswegen bin ich gleich den direkten Weg gegangen. Gruß MSS
11.12.2006, 14:49	pompasier	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Hab noch ne grundsätzliche Frage zu dieser Aufg.: wie gehe ich am geschicktesten vor, wenn ich jetzt z.B. vier linear abhängige Vektoren im $\begin{eqnarray} \mathbb R 4 \end{eqnarray}$ habe, und diese auf vier linear abhängige Vektoren im $\begin{eqnarray} \mathbb R 3 \end{eqnarray}$ abbilde, "suche" ich mir dann eine konkrete Abb.Vorschrift? Oder kann ich dann nur über ein GLS gehen? (Hoffe ihr versteht was ich meine ?) Danke schonmal
11.12.2006, 15:23	Buef	Auf diesen Beitrag antworten »
komm in die bib dann erklären wir es dir! mitte dritter tisch
11.12.2006, 15:42	pompasier	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke fürs Angebot, hab aber gleich noch Vorlesung. Werd mich später nochmal dransetzen, meld mich dann bei Fragen nochmal. Euch noch viel Erfolg und einen trockenen nach Hause Weg. Gruß
11.12.2006, 16:35	Buef	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Verfahren klappt leider nicht bei dem nächsten Aufgabenteil Gibt es R-Lineare Abbildungen $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ die die folgenden Vektoren $\begin{eqnarray} a_i \in \mathbb {R}^4 \end{eqnarray}$ jeweils auf die angebebenen Vektoren $\begin{eqnarray} b_i \in \mathbb {R}^3 \end{eqnarray}$ abbilden? a1 = (0,1,1,1) a2 = (1,0,1,1) a3= (1,1,0,1) b1 = (1,2,3) b2 = (2,3,1) b3=(3,1,2) Wenn ich nun die Matrixgleichung aufstelle sieht das ja so aus : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{34} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Hab es probiert und probiert aber das Gleichungssystem lässt sich nicht lösen, da jede Variable am ende z.b. von d abhängig ist wie a = 2 - (d/2) ... Was mache ich falsch ?
11.12.2006, 16:41	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du hast eine frei wählbare Variable, d.h. es gibt unendlich viele lineare Abbildungen. Eine bestimmte kriegst du, indem du für $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ einen konkreten Wert einsetzt. Gruß MSS
11.12.2006, 16:50	Buef	Auf diesen Beitrag antworten »
aha ok das klingt logisch... Geb mir ne Sekunde ich mach das dann mal für alle 3 Gleichungssysteme und schau mal ob das so hinaut
11.12.2006, 17:28	Buef	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab das jetzt 3 mal probiet aber das klappt einfach nicht. Hab sogar die Gleichungssysteme aus der Matrixmultiplikation mit Derive ausrechnen lassen dann hab ich für d einfach 2 eingesetzt und dann nachgerechnet aber das klappt nicht da kommt immer einfach was falsches raus EDIT : OMG Sorry bin ein Depp ^^ Hab mich beim Einsetzen verrechnet g Also es sitzt, passt, wackelt und hat Luft

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