Normalform einer bestimmten Äquivalenzrealtion

23.05.2011, 15:04	zachery_foxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalform einer bestimmten Äquivalenzrealtion Hallo zusammen, ich suche zu einer Äquivalenzrealtion eine Normalform (ähnlich wie Jordan-Normalform). Zunächst ist der Raum der Matrizen ein $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_3^{n\times n} \end{eqnarray}$ . Die Äquivalenzrelation lautet: $\begin{eqnarray} A\sim B :\Leftrightarrow \end{eqnarray}$ Es existiert eine Folge von Permutationen von A (Zeilen & Spalten gleichzeitig), sodass $\begin{eqnarray} B = \operatorname{Perm}\left(A\right) \end{eqnarray}$ . B entsteht also aus einer Folge von gleichzeitigen Zeilen- & Spaltenvertauschungen von A. z.B. $\begin{eqnarray} <br /> A = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <br /> B = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)<br /> \end{eqnarray}$ wären Äquivalente Matrizen nach der obigen ÄR, es wurden von A nach B z.B. 1. und 2. Zeile & Spalte vertauscht (Diese Klasse ist ein Spezialfall, daher gibt es nur zwei Elemente in der Äquivalenzklasse). Gesucht ist nun eine Repräsentante aus jeder Äquivalenzklasse bzw. eine Regel für die Bildung einer solchen ähnlich wie bei der Jordan-Normalform. Weiß jemand wo man so etwas nachlesen könnte oder kann mir ein Paar Stichpunkte/Sätze nennen, nach denen man suchen kann. Vielen Dank foxx
24.05.2011, 11:13	zachery_foxx	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalform einer bestimmten Äquivalenzrealtion Also, ich habe bisher mal ein paar eigenschaften zusammengestellt, die nach der obigen Definition Äquivalente Matrizen Gemeinsam haben: Die Diagonalelemente sind von den Anzahlen her gleich ( $\begin{eqnarray} n_{1;A} = n_{1;B} \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} n_{-1;A} = n_{-1;B} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n_{0;A} = n_{0;B} \end{eqnarray}$ ) Beide Matrizen haben den selben Rang: $\begin{eqnarray} \operatorname{rang}\left(A\right) = \operatorname{rang}\left(B\right) \end{eqnarray}$ (Da es ein invertierbares P gibt mit $\begin{eqnarray} B = PAP^{-1} \end{eqnarray}$ sind sie sogar ähnlich) wegen 1. gilt für die Spuren $\begin{eqnarray} \operatorname{tr}\left(A\right) = \operatorname{tr}\left(B\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \operatorname{abstr}\left(A\right) = \operatorname{abstr}\left(B\right) \end{eqnarray}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray} \operatorname{abstr}\left(A\right) = \sum_{j=1}^n \left\| a_{jj} \right\| \end{eqnarray}$ die Summe der Betr\"age der Diagonalelemente. Die Anzahl der Nichtdiagonalelemente muss mindesten $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ sein damit die Matrix nicht äquivalent zu einer Blockmatrix mit mehreren Blöcken entlang der Diagonalen wird Es scheint besondere Symmetrien zu geben bei denen Zyklische Permutationen (z.B. $\begin{eqnarray} 1 - 2 - 3 \Rightarrow 3 - 1 - 2 \end{eqnarray}$ ) keine "echten" Permutationen sind. Außerdem eine Mathematischere Formulierung der ÄR: $\begin{eqnarray} <br /> A \sim B :\Leftrightarrow \exists k\in\mathbb{N} \mathrm{\ und\ zwei\ Folgen\ } i_l, j_l: B = \left(\prod_{l=1}^k P_{i_l j_l}\right)A\left(\prod_{l=k}^1 P_{i_l j_l}^{-1}\right)<br /> \end{eqnarray}$ Das zweite Produkt wird "rückwärts" ausgeführt $\begin{eqnarray} P_{ij} \end{eqnarray}$ sind Operatoren (Matrizen) die, wenn sie von Links an eine Matrix multipliziert werden die Zeilen Tauschen und wenn sie von rechts an eine Matrix multipliziert werden die Spalten tauschen. Sie sind selbstinvers. Aufgabe ist nun zu jeder Äquivalenzklasse eine Repräsentante zu finden, bzw. ein Rezept zur Bildung einer solchen. Hat jemand eine Idee mit welchem Ansatz man da rangehen könnte oder fallen jemandem Sätze ein, die etwas zu dem Thema aussagen? Beste Grüße foxx

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