Spektralabbildungssatz

23.05.2011, 16:05

steviehawk

Spektralabbildungssatz

Meine Frage:
Hey Leute, in einer Aufgabe soll ich als erstes folgendes zeigen:

Sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein Ring mit 1 und $\begin{eqnarray*} a , b \in R, mit, ab=ba \end{eqnarray*}$ dann gilt:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^k b^{n-k}, \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also: $\begin{eqnarray*} (a+b)^n \end{eqnarray*}$ hat ja wohl irgendwas mit den Binomischenformeln zu tun...

Aber was heißt den das n über k?

23.05.2011, 16:20

zweiundvierzig

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Das ist der gewöhnliche Binomialkoeffizient. Was das ganze mit dem Spektralsatz zu tun hat, ist mir übrigens eher unklar.

23.05.2011, 16:39

steviehawk

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Ja ist ja erst der erste Teil der Aufgabe smile

Also ich hab mir die Aussage mal an einem Beispiel klar gemacht! Soll ich da also Beweis eine Induktion machen??

23.05.2011, 16:42

zweiundvierzig

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Ja, Induktion nach dem Exponenten ist eine Möglichkeit. smile

23.05.2011, 16:57

steviehawk

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Okay also ich versuche es mal:

für n=0

$\begin{eqnarray*} 1= (a+b)^0 = \sum\limits_{k=0}^0 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} a^0 b^0 = 1\cdot 1\cdot 1 = 1 \end{eqnarray*}$ somit eine wahre Aussage

Sei die Aussage also für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ richtig, dann auch für $\begin{eqnarray*} n+1: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+b)^{n+1} = \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^k \cdot b^{n-k} \end{eqnarray*}$

oder muss es so aussehen?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} a^k \cdot b^{(n+1)-k} \end{eqnarray*}$

bevor ich jetzt sinnlos Zeit verschwende Big Laugh

23.05.2011, 17:03

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^0 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} a^0 b^0 = 1\cdot 1\cdot 1 \end{eqnarray*}$

Das ist im allgemeinen problematisch, denn man definiert diese "leere Summe" bereits als 0.

Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} a^k \cdot b^{(n+1)-k} \end{eqnarray*}$

Das hier ist weniger fehlerhaft als die andere Variante, allerdings hast Du hier vergessen, dass $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ anfängt.

23.05.2011, 17:34

steviehawk

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okay also dann nochmal mit n=1

$\begin{eqnarray*} (a+b)^1 = \sum\limits_{k=0}^1 \begin{pmatrix} 1 \\ k \end{pmatrix} a^k \cdot b^{1-k} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} b^1 +\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} a^1 = b +a = a + b \end{eqnarray*}$

so, sei die Aussage also für n richtig, dann auch für n+1:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^{n+1} = \sum\limits_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} a^k \cdot b^{(n+1)-k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => (a+b)^{n+1} = \begin{pmatrix} n+1 \\ 0 \ \end{pmatrix} b^{n+1} + \begin{pmatrix} n+1 \\ 1 \end{pmatrix} a\cdot b^n + ... + \begin{pmatrix} n+1 \\ n\end{pmatrix} a^n\cdot b + \begin{pmatrix} n+1 \\ n+1 \end{pmatrix} a^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => (a+b)^{n+1} = b^{n+1} + (n+1)a \cdot b^n + ... + (n+1)a^n \cdot b + a^{n+1} = (a+b)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Kann man das so lassen?

23.05.2011, 17:41

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} (a+b)^1 = \sum\limits_{k=0}^1 \begin{pmatrix} 1 \\ k \end{pmatrix} a^k \cdot b^{1-k} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} b^1 +\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} a^1 = b +a = a + b \end{eqnarray*}$

Das ist richtig.

Zitat:

Original von steviehawk
so, sei die Aussage also für n richtig, dann auch für n+1:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^{n+1} = \sum\limits_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} a^k \cdot b^{(n+1)-k} \end{eqnarray*}$

Das sollst Du doch erst zeigen! Der erste Schritt ist, $\begin{eqnarray*} (a + b )^{n + 1} \end{eqnarray*}$ so umzuschreiben, dass Du die Induktionsannahme verwenden kannst, d.h., dass $\begin{eqnarray*} (a + b)^n \end{eqnarray*}$ irgendwo erkennbar ist.

Edit: Induktionsanfang mit $\begin{eqnarray*} k = 0 \end{eqnarray*}$ funktioniert, wie Du oben geschrieben hast, bloß hättest Du einfach das Summenzeichen weglassen sollen. Augenzwinkern

23.05.2011, 18:09

steviehawk

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hab mir schon gedacht dass da was nicht stimmt:

also:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^{n+1} = (a+b)^n+(a+b) = [\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^k \cdot b^{n-k}] \cdot (a+b) = [\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} b^n + ... + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} a^n] \cdot (a+b) = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} b^na + ... + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} a^{n+1} + \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} b^{n+1} + ... \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} a^nb \end{eqnarray*}$

und das sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} a^{n+1} + a^nb + ... + b^na + b^{n+1} = (a+b)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Auf dem Papier kann man in der Summe ja noch mehr "Teile" hin schreiben smile

Stimmts jetzt?

23.05.2011, 18:12

steviehawk

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mist da ist was weggefallen...

Also das letzte heißt natürlich:

$\begin{eqnarray*} ... \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} a^nb \end{eqnarray*}$

23.05.2011, 18:12

steviehawk

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oh man ist doch nicht weggefallen, hatte mein Safarifenster zu klein Hammer

23.05.2011, 18:19

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} (a+b)^{n+1} = (a+b)^n+(a+b) <br /> \end{eqnarray*}$

Das ist zum Glück bloß ein Tippfehler gewesen.

Die restliche Umformung ist zwar richtig, aber das führt uns noch nicht zum Ziel. Bitte benutze die Schreibweise mit dem Summenzeichen, damit Du siehst, was wirklich passiert, insbesondere mit den Binomialkoeffizienten.

Wir haben also $\begin{eqnarray*} (a + b)^n = (a + b)\left(\sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n - k}\right) = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} a^{k + 1} b^{n - k} + \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n + 1-k} \end{eqnarray*}$
Jetzt sehen wir im rechten Summanden schon die Potenz $\begin{eqnarray*} b^{n + 1 - k} \end{eqnarray*}$ , was ja schonmal ganz gut ist. Wie kriegen wir die nun auch im linken Summanden?

23.05.2011, 18:33

steviehawk

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man könnte einfach den Laufindex von k nicht bei 0 sonder bei 1 starten lassen oder?

23.05.2011, 18:38

zweiundvierzig

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Dann mal los. Augenzwinkern

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