Partielle Integration nach d(x,y)

23.05.2011, 16:09

Azurech

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Partielle Integration nach d(x,y)

Hallo, ich hab Probleme mit folgender Aufgabe.

$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi \! (\int_0^\pi \! y² * sin(x + y) \, dx ) dy \end{eqnarray*}$

nach x integriert ist das doch erstmal:

$\begin{eqnarray*} = \int_0^\pi \! \left[y² * (-cos(x + y))\right]_{0}^{\pi} \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_0^\pi \! y² * (-cos(\pi + y)) \, dy \end{eqnarray*}$

Nun muss ich doch die Regel der partiellen Integration anwenden oder?

$\begin{eqnarray*} Formel: \int \! u v' \, = u v - \int \! u' v \, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v' = (-cos(\pi + y)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u = y² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left[-sin(\pi+y)\right]_{0}^{\pi} - \int_0^\pi \! -cos(\pi + y)2x \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -son2\pi) - \left[-sin(\pi + y)2x\right]_{0}^{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -sin(2\pi) + sin(2\pi)2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = sin(2\pi) * (-1 + 2x) \end{eqnarray*}$

So?

23.05.2011, 16:16

Mazze

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Also für mich ist :

$\begin{eqnarray*} [-y^2\cos(x + y)\mathop{]}\limits_0^\pi = -y^2 \cos(\pi + y) + y^2\cos(y) \end{eqnarray*}$

ansonsten :

Zitat:

Nun muss ich doch die Regel der partiellen Integration anwenden oder?

Müssen musst Du es nicht, aber es bietet sich natürlich an.

edit : Allerdings dürfte die Gleichung $\begin{eqnarray*} \cos(x + \pi) = - \cos(x) \end{eqnarray*}$ recht hilfreich sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

23.05.2011, 16:27

Azurech

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Oh natürlich (sonst ist immer was mal 0 dann, gewohnheit Hammer

Hammer

)
hab da auch nochn paar Fehler gemacht..

$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi \! \left[y² * (-cos(x + y))\right]_{0}^{\pi} \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_0^\pi \! y² * (-cos(\pi + y)) + y² * cos(y) \, dy \end{eqnarray*}$

Aber wie leite ich das nun partiell ab?

$\begin{eqnarray*} = (\left[-sin(\pi+y)y²\right]_{0}^{\pi} - \int_0^\pi \! -cos(\pi + y)2y) \, dy + (\left[sin(y)y²\right]_{0}^{\pi} - \int_0^\pi \! cos(y)2y) \, dy \end{eqnarray*}$

so etwa?

23.05.2011, 16:30

Mazze

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Zitat:

Aber wie leite ich das nun partiell ab?

Tust Du nicht. Du willst es partiell Integrieren. Aber nochmal zu meinem Edit oben :

Es ist $\begin{eqnarray*} \cos(x + \pi) = - \cos(x) \end{eqnarray*}$ , daher

$\begin{eqnarray*} [-y^2\cos(x + y)\mathop{]}\limits_0^\pi = -y^2 \cos(\pi + y) + y^2\cos(y)= 2y^2\cos(y) \end{eqnarray*}$

Daher sind deine ersten Überlegungen garnicht so falsch. Du hast da allerding ein Paar fehler drin. Etwa hast Du das u beim ersten Summanden vergessen.

23.05.2011, 16:47

Azurech

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Kannst du mir erklären warum $\begin{eqnarray*} cos(x + \pi) = -cos(x) \end{eqnarray*}$ ist? Das versteh ich nicht.

Ansonsten hab ich dann ja nun

$\begin{eqnarray*} = \int_0^\pi 2y²cos(y) \, dy \end{eqnarray*}$

und hier integriere ich aber nun partiell, ja?^^

$\begin{eqnarray*} \left[sin(y)2y²\right]_{0}^{\pi} - \int_0^\pi cos(y)4y \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = sin(\pi)2{\pi}^2 - \left[sin(y)2y²\right]_{0}^{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = sin(\pi)2{\pi}^2 - sin(\pi)2{\pi}^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$

??

Ah ne, ich muss oben nochmal partiell integrieren oder?

23.05.2011, 16:54

Mazze

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Zitat:

Kannst du mir erklären warum $\begin{eqnarray*} cos(x + \pi) = -cos(x) \end{eqnarray*}$ ist? Das versteh ich nicht.

Das lässt sich sehr leicht durch die Additionstheoreme :

$\begin{eqnarray*} \cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(x) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x) \end{eqnarray*}$

beweisen (ist ein Einzeiler). Alternativ macht man sich das am Einheitskreis klar.

Zu deiner Lösung : Erste Schritt ist ok, bedenke aber dass $\begin{eqnarray*} \sin(\pi) = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Deinen zweiten Schritt verstehe ich nicht.

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23.05.2011, 17:11

Azurech

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Ja, ich denke ich muss da nochmal partiell integrieren?
Ist $\begin{eqnarray*} sin(\pi) \end{eqnarray*}$ nicht = ca. 0,05?

$\begin{eqnarray*} \left[sin(y)2y²\right]_{0}^{\pi} - \int_0^\pi cos(y)4y \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = sin(\pi)2{\pi}^2 - \left[sin(y)4y\right]_{0}^{\pi} - \int_0^\pi cos(y)4 \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = sin(\pi)2{\pi}^2 - sin(\pi)4\pi - \left[sin(y)4\right]_{0}^{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = sin(\pi)2{\pi}^2 - sin(\pi)4\pi - sin(\pi)4 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} sin(\pi) (2{\pi}^2 - 4\pi - 4) \end{eqnarray*}$

?

23.05.2011, 17:20

René Gruber

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Zitat:

Original von Azurech
Ist $\begin{eqnarray*} sin(\pi) \end{eqnarray*}$ nicht = ca. 0,05?

Genau 0 trifft es besser. Deine Grundkenntnisse der Winkelfunktionen können einen nicht gerade vom Hocker reißen.

EDIT: Es wäre ganz sicher von Vorteil, wenn du deinen Taschenrechner vom Modus DEG auf RAD umstellst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.05.2011, 17:21

Mazze

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Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} sin(\pi) \end{eqnarray*}$ nicht = ca. 0,05?

Nein, der Sinus von pi ist exakt 0. Hast Du dir jemals Sinus/Cosinus im Einheitskreis angeschaut ? Dann wäre dir das nämlich sofort klar.

Der Rest ist mir immernoch unklar. Hier der erste Schritt der Integration :

$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi 2y^2\cos(y)dy = [2y^2\sin(y)\mathop{]}\limits_0^\pi - \int_0^\pi 4y\sin(y) dy = 0 - \int_0^\pi 4y\sin(y)dy \end{eqnarray*}$

Daher muss ich auch meinen Kommentar im letzten Post korrigieren. Auch dein erster Schritt war nicht in Ordnung. Im neuen Integranten steht das Produkt von u' und v !

23.05.2011, 17:39

Azurech

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Hm ja, weil der taschenrechner mir das als 0,054... ausrechnet, aber ok smile

smile

Ja, kam da langsam durcheinander aber ich versteh nu.

$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi 4y\sin(y)dy \end{eqnarray*}$

So, das wieder partiell integrieren:

$\begin{eqnarray*} = \left[4y * -cos(y)\right]_{0}^{\pi} - \int_0^\pi -4cos(y) dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -cos(\pi)4\pi - \left[-4sin(y)\right]_{0}^{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -cos(\pi)4\pi + 4sin(\pi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4sin(\pi) = 0 \end{eqnarray*}$ , ja?

$\begin{eqnarray*} cos(\pi) = -1 \end{eqnarray*}$ ?

23.05.2011, 17:43

Mazze

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Zitat:

Hm ja, weil der taschenrechner mir das als 0,054...

Dann ist der Taschenrechner ziemlich doof (meiner zeigt da nämlich 0 an). Abgesehen davon kann der Rechner eh nur endlich viele Nachkommastellen von PI benutzen, was sowieso alles rechnen ungenau macht. Und schlussendlich sollte man bestimmte Werte für den Cosinus/Sinus sowieso drauf haben da man diese oft benötigt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} cos(\pi) = -1 \end{eqnarray*}$ ?

Ja!

Schreib aber alles nochmal sauber auf, so dass Du dich nicht mit den ganzen Minuszeichen verhaspelst.

ps.: $\begin{eqnarray*} \cos(0) = 1 \end{eqnarray*}$ , da hast Du also noch einen Fehler.

23.05.2011, 17:54

Azurech

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Ist das ein Fehler? Wird doch dennoch 0 der eine Term?

$\begin{eqnarray*} = \left[4y * -cos(y)\right]_{0}^{\pi} - \int_0^\pi -4cos(y) dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = [ 4\pi * -cos(\pi) -4*0 * (- cos(0)) ] - \left[-4sin(y)\right]_{0}^{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 4\pi * -cos(\pi) + 4sin(\pi) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 4\pi \end{eqnarray*}$

23.05.2011, 18:03

Mazze

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Zitat:

Ist das ein Fehler? Wird doch dennoch 0 der eine Term?

Ja stimmt. Ich hatte das y vergessen. Also alles In Ordnung!

23.05.2011, 18:03

Azurech

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Ok, dann dankeschön smile

smile

23.05.2011, 18:08

René Gruber

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Und ich hoffe, mein obiger Hinweis mit der Taschenrechner-Umstellung von DEG auf RAD ist auch angekommen, für die nächste Analysis-Aufgabe, in der Winkelfunktionen vorkommen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.05.2011, 18:14

Azurech

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Oh, danke! Dann klappt das auch ma Big Laugh

Big Laugh

Kann ich eig immer in RAD rechnen? Oder was macht DEG eigentlich so tolles?

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