Das Basler Problem - Leonhard Eulers Näherungs-Rechnung mittels Integral

23.05.2011, 17:41	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Basler Problem - Leonhard Eulers Näherungs-Rechnung mittels Integral Beim Lesen des Buches Darf ich Zahlen von Günter M. Ziegler bin ich auf das interessante Problem von Basel gestoßen. $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray}$ Die Summe der Kehrwerte der Quadrat-Zahlen Bevor Euler das Beweisen konnte, musste er erst einmal nachrechnen , und zwar hat er dies sehr mühsam mittels eines Integrals getan. Er hat zunächst läppische 6 Nachkomma-Stellen herausbekommen; $\begin{eqnarray} 1,644934 \end{eqnarray}$ und später sogar 17 Stellen nach dem Komma! Und das alles ohne Computer oder Taschenrechner! Ich habe das mal durch Q-Basic laufen lassen und die einzelnen Glieder aufsummiert, nach 1*10^6 Schritten kommt die Zahl auf 5 Nachkomma-Stellen genau heraus - schlechter als Euler mittels integral. Wäre es möglich seine Rechnung zumindest nachzuvollziehen? Könnte ich das, als blutiger Mathe Neuling, wenn ich die Grundlagen der Integralrechnung kenne. Habt ihr eine Ahnung wie das geht? lieben Gruß, Christian
23.05.2011, 18:28	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwar beantwortet dies nicht direkt deine Frage, aber hier findet sich eine Ausarbeitung mit 14 Beweisen der Identität $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2} = \frac {\pi^2} 6 \end{eqnarray}$ . Auch wenn dort viele Methoden verwendet werden, die du nicht kennst, findest du vielleicht eine Anregung oder gar Inspiration.

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