Volumenberechnung bei Rotationskörpern

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23.05.2011, 18:10

Fraqq

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Volumenberechnung bei Rotationskörpern

Hallo erst einmal smile

Ich habe Freitag meine Matheaufgabe für mein mündliches Abi bekommen und habe gleiche eine Frage smile

Thema ist: Volumenberechnung bei Rotationskörpern.

Der einleitende Satzt ist: Wenn die den Querschnitt eines rotationsymmetrischen Körpers berandende Kurve durch eine stetige Funktion f beschrieben werden kann, so ist es möglich, das Volumen V des Körpers mit der Formel $\begin{eqnarray*} V=\pi \int_a^b \! f(x)^2 \, dx \end{eqnarray*}$ zu bezeichnen.

Im Aufgabenteil c) heißt es: Berechnen sie mit dieser Methode das Volumen der "Schüssel" des Radioteleskops in Effelsberg. Gehen Sie davon aus, dass die Antenne die Form eines Rotationsparaboloids mit einem Durchmesser von 100m und einer Tiefe von 20,5m hat.

Kann mir da jemand helfen?
Die Frage ist,wie bekomme ich aus den Werten 100m und 20,5m $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ?
Oder wie kann man aus den zwei Werten eine Parabel bestimmen?
Ich weiß da echt nicht weiter. Leider hatten wir so etwas nie in der Schule und mein Analysis Buck hilft da auch nur bedingt weiter.
Vor allem scheint es wichtig zu sein, dass ich diese Schüssel um die x-Achse rotieren lasse und nicht um die y-Achse. Weil dann könnte man diesen Rotationsparaboloiden ja mit der Formel $\begin{eqnarray*} V = \frac{\pi}{2}\cdot r^2\cdot h \end{eqnarray*}$ berechnen. Aber ich soll es eben mit der Formel von da oben berechnen.
Danke.
Gruß,
Jonas

23.05.2011, 18:16

Iorek

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Zitat:

Original von tigerbine
Hallo liebe Community,

aktuell stehen die mündlichen Abiturprüfungen an und zu unserer Überraschung werden da teilweise Kolloquiumsaufgaben zur Vorbereitung mit nach Hause gegeben. Ich bitte euch daher aktuell noch mehr das Boardprinzip an die neuen user weiterzugeben. Hilfe zur Selbsthilfe, ohne Einsatz des users keine Hilfe, Definitionen nachschlagen etc.

Den Abiturienten sei vorab gesagt, dass die Lehrer ihre Aufgaben auch im Netz suchen werden, und wir eure Fragen im Nachhinein nicht löschen werden! Überlegt euch daher gut, was ihr hier fragt oder ob ihr nicht lieber die auf den Aufgabenzetteln angegebenen Quellen verwenden wollt.

Dennoch allen Abiturienten des aktuellen Jahrgangs ein gutes Gelingen.

Die Tiefe der Schüssel gibt dir weitere Informationen, die du verwenden kannst.

23.05.2011, 18:26

Fraqq

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Okay. Ja, dass ihr mir die Aufgabe nicht lösen sollt war klar. Aber eine kleine Hilfestellung geben. Zumal es uns auch gestattet ist andere zu fragen und uns Hilfe zu holen. Das ist der Sinn der Übung. Dass die meisten damit nicht alleine klar kommen ist den Lehrern sehr gut bewusst.

23.05.2011, 18:34

Iorek

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Es gibt aber verschiedene Arten von Hilfe, daher diese Warnung vorab damit später keine Beschwerden kommen (zumal mir die Bearbeitung einer Abituraufgabe zu Hause zugegeben völlig neu ist).

Eine Googlesuche zum Volumen von Rotationsparaboloiden könnte auch hilfreich sein und evtl. ein Beispiel aufwerfen...

23.05.2011, 18:39

Fraqq

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Ja, ist auch zum ersten Mal so dieses Jahr glaub ich. Profilabitur eben...
Zu deinem Vorschlag:
Hab ich natürlich schon gemacht, bloß geht es dabei immer um Rotationsparaboloid die um die y-Achse rotieren und dafür gibt es ja eine Formel. Bloß soll ich das eben mit der ersten Formel machen die ich aufgeschrieben habe. Und das verwundert mich so.

23.05.2011, 18:42

Iorek

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Es gibt auch durchaus ein Ergebnis wo auf dieses Problem eingegangen wird (Stichwort: Umkehrfunktion), damit solltest du dann weiterkommen.

23.05.2011, 18:44

Fraqq

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Okay danke, ich werd mal suchen smile

PS: Ich hab mein Abi ja eh schon (genug Punkte), von daher kann ich es auch verhauen Big Laugh

23.05.2011, 19:29

Fraqq

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Kannst dur mir nicht doch nochmal helfen?
Ich brauche doch um das mit der Formal zu berechnen f(x) oder?
Und das muss ich irgendwie aus der Höhe und dem Durchmesser bekommen?
Weil genau das verstehe ich nicht bzw. da komme ich nicht weiter. Muss ich dann eine Parabelgleichung mit $\begin{eqnarray*} y = ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$ aufstellen?
Ich verzweifel da langsam unglücklich

23.05.2011, 19:35

Iorek

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Eine Parabelgleichung brauchst du, ja. Allerdings nicht die allgemeine Form. Denk mal an die ~8te Klasse zurück, da gab es noch etwas weiteres.

Wie gesagt: du hast die Tiefe der Schüssel gegeben, das ist der Schlüssel.

23.05.2011, 20:28

Fraqq

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Ich denke mal du meinst die Scheitelpunksform richtig?
Wenn ich dann f(x) bestimmt habe müsste man diese Parabel doch um 90° kippen um sie mit der ersten Funktion zu berechnen oder? Oder ist das egal, bzw. kann man Parabel überhaupt kippen, so dass die x-Achse die symmetrieachse ist? Das macht doch eigentlich keinen Unterschied.

23.05.2011, 20:33

Iorek

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Noch einmal: Umkehrfunktion. Die spielt hier eine große Rolle.

Und nein, einfach kippen darfst du die nicht.

23.05.2011, 20:34

Fraqq

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Ach ist doch alles fürn Ar***...Ich war in Mathe nie gut unglücklich

23.05.2011, 20:38

Iorek

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Dann ist Mathematik als Abiturfache natürlich sinnvoll gewählt.

Ich habe dir jetzt mehrere Anhaltspunkte gegeben, du brauchst die Begriffe Rotationsparaboloid, Volumen und Umkehrfunktion, diese reichen auch aus um ein komplett durchgerechnetes Beispiel zu finden, welches deiner Aufgabe sehr ähnlich ist.

In Anbetracht der Tatsache, dass es sich hier um deine Abiturprüfung handelt, sollte dies als Hilfestellung mehr als ausreichend sein.

23.05.2011, 20:41

Fraqq

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Ja, ich werds mir morgen noch mal in Ruhe anschauen. Aber danke für die Tips, ich hab eben nochmal nach der Umkehrfunktion geguckt, die hilft mir tatsächlich weiter :P
Leider konnte ich es nicht anders wählen, so dass nur noch Mathe mündlich auf grundliegendem Niveau übrig blieb.
Gruß

23.05.2011, 21:19

Fraqq

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Hast du lust das mal auszurechnen?
Ich glaube ich habs jetzt geschafft und bei mir kommen $\begin{eqnarray*} 660,1529174m^3 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 660152,917 L \end{eqnarray*}$ raus. Kann das stimmen?

24.05.2011, 00:37

Fraqq

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Boah mich lässt das nicht in Ruhe.
Wie komme ich auf das $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ?
Ich muss ja eine Scheitelpunktform aufstellen. Ich habe also $\begin{eqnarray*} f(x)=a\cdot (x^2-d)+e \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} a\cdot (x^2-0)-20,5 \end{eqnarray*}$ weil sie ja durch den Scheitelpunkt geht und um -20,5 nach unten verschoben ist.
Aber wie bekomme ich jetzt das a? Ich steh total auf dem Schlauch. Das müssten 0,0082 sein, das weiß ich aber auch nur aus nem Plotter. Aber wie leitet man das her?
Ich finde das nirgends und wissen tue ich es auch nicht mehr...

24.05.2011, 00:54

Fraqq

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Sch*** 15. min Regel...
Nicht $\begin{eqnarray*} (x^2-d) \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} (x-d)^2 \end{eqnarray*}$

24.05.2011, 16:10

Fraqq

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Okay ich habs jetzt smile

Habs so gemacht:

Was ist gegeben? 3 Punke $\begin{eqnarray*} P(-50/0), Q(0/-20,5), R (50/0) \end{eqnarray*}$
Allgemeine quadratische Funktion $\begin{eqnarray*} y=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$

Dann die Punkte in die Funkion eingesetzt und man erhält 3 Gleichung mit 3 unbekannten.
Das alles ausgerechnet kommt man auf:
$\begin{eqnarray*} a=0,0082 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} c=-20,5 \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=0,0082x^2-20,5 \end{eqnarray*}$ .

Alles andere dann mit der Umkehrfunktion usw...

24.05.2011, 18:12

Fraqq

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Puuh so nach unzähligen doppelposts noch mal einer.

ich glaube die Formel die ich bestimmt habe ist soweit richtig.
Nun zur Umkehrfunktion. Leider haben wir das in der Schule nie gemacht und ich kann es nicht wirklich.
Eigentlich geht es doch so: y und x vertauschen, dann nach y auflösen oder?

Also eigentlich:
$\begin{eqnarray*} y=0,0082\cdot x^2-20,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=0,0082\cdot y^2-20,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 20,5\cdot x=0,0082\cdot y^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y= \sqrt{\frac{20,5\cdot x}{0,0082}} \end{eqnarray*}$

Oder?
Weil wenn ich die in Plotter eingebe sieht die sehr merkwürdig aus. Also geht irgendwo bis y=250 oder so und bei x gerade mal die 20,5....
Ich checks nicht

24.05.2011, 21:57

Fraqq

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Okay ich habs glaube ich.
Allerdings gibt es eine minimale Abweichung was ich komisch finde.
Ich habe jetzt die Umkehrfunktion so:

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{\frac{5000x}{41} +20,5} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{\frac{x}{0,0082} +20,5} \end{eqnarray*}$
was ja das selbe sein sollte

Wenn ich damit allerdings eine Wertetabelle erstelle kommt bei
x----------f(x)
20,5------50,20458146

wo doch eingentlich genau 50 herauskommen sollten oder?
Magst du dazu nicht nocmal was sagen?
Sonst rechne ich hier rum und nachher ist eh alles falsch. Ich mein durch wen soll ich mir sowas auch bestätigen lassen.
Danke

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