Bestimmen Sie die Jordansche Normalform der Matrix |
| 23.05.2011, 18:48 | wdposchmann | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Bestimmen Sie die Jordansche Normalform der Matrix Hi, ich denke, dass das Thema schon sehr oft behandelt und auch durchgegangen wurde, jedoch sitze ich jetzt schon längere Zeit über folgender Aufgabe und kann immer noch keinen schlüssigen Algorithmus finden, der mich zur Jordanschen Normalform bringt: Zudem ist bereits das charakteristische Polynom gegeben. Die Aufgabenstellung ist wie gesagt, die JNF zu bestimmen. Meine Ideen: Ich weiss bereits, dass man, um die JNF zu bestimmen, keine J-Basis und keine Transformationsmatrix braucht, sprich, dass sich die JNF auch alleine über algebraische und geometrische Vielfachheit bestimmen lässt (hoffe ich zumindest, dass ich das richtig verstanden habe). Die algebraische VFH des Eigenwerts 4 ist ja 5. Die geometrische ist 2 (habe ich über den Kern berechnet). Jetzt glaube ich zu meinen, dass das bedeutet, dass ich einen Jordan-Block der Länge 5 zum EW 4 habe und das dieser in 2 Kästchen unterteilt ist. Stimmt das so? Also das auf der Diagonalen nur der Wert 4 steht, ist soweit klar, mein Problem ist jetzt eher, dass ich nicht verstehe, wie und wohin ich dann immer den Wert 1 in die Nebendiagonale schreibe, sprich wo ich in der Matrix die Einträge durch den Wert 1 ersetzen muss. Kann ich jetzt nur aufgrund dieser Informationen schon die JNF der Matrix A angeben? Und wenn ja, wie funktioniert das im Allgemeinen? (mit "im Allgeimenen" meine ich einfach, wenn ich mal mehrere Eigenwerte und Vielfachheiten haben würde). Oder ist mein Denkansatz falsch? Vielen Dank schon mal für eure Hilfe! |
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| 23.05.2011, 18:55 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn die geometrische Vielfachheit 2 ist (hab ich nicht überprüft), wieviele Hauptvekotren musst DU dann bestimmen ? Was sagt Dir das über die Anzahl der 1en? |
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| 23.05.2011, 19:07 | wdposchmann | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich denke mal, dass ich dann 3 Hauptvektoren bestimmen muss, stimmt das? Ich habe noch die Potenzen von und berechnet, da ich gelesen habe, dass ich aus den Kernen dieser Matrixpotenzen dann Vektoren bekomme, die mich letzten Endes auf meine Jordan-Basis bringen. Bei beiden Potenzen ergibt sich, dass die jeweilige Dimension des Kerns gleich 4 ist. Doch wie ich dadurch dann auf die Jordan-Basis und die Transformationsmatrix komme, habe ich bis jetzt nicht verstanden. (Und die Frage ist ja immer noch: Brauche ich das überhaupt für die JNF?). Hoffe die Antwort war nicht länger als nötig, habe dir einfach noch mal paar meiner Überlegungen aufgeschrieben. |
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| 23.05.2011, 19:20 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schau Dir mal hier das Beispiel an, da wirds ähnlich gemacht. Die Potenzen des Kerns brauchst Du zur Bestimmung der Jordanblöcke. |
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| 23.05.2011, 21:07 | wdposchmann | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok das Beispiel glaube ich zu verstehen: Durch den span des erfahre ich, wie viele Jordan Blöcke insgesamt in der Jordan-Matrix stehen werden. Sind in dem Beispiel 3, da die Dimension des Kerns 3 ist. Dann werden die Potenzen ausgerechnet. Im Beispiel ergibt sich bereits bei der zweiten Potenz die Nullmatrix. Durch die Potenz 2 erfahre ich dann, dass die maximale Größe eines Jordan-Blocks in meiner Matrix 2 ist. Zusammengefasst habe ich dann insgesamt 3 J-Blöcke, 2 der Größe 2 und einen der Größe 1. Und über die mit der Größe 2 schreibe ich einfach eine 1 in die Diagonale. Habe ich das richtig verstanden? Wenn ja, dann habe ich aber eine Frage. Bei meiner Matrix ergibt sich, dass ich insgesamt 2 Jordan-Blöcke mit der maximalen Größe 2 haben werde. Das ist doch aber gar nicht möglich, wenn ich insgesamt die algebraische Vielfachheit 5 habe, oder? |
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| 24.05.2011, 00:46 | wdposchmann | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nach langem "Anstarren" mehrerer JNF, die ich noch so im Internet und in Lehrbüchern gefunden habe, ist der Stein glaube ich gefallen. Habe auch meinen Fehler gefunden, denn die Potenz bei meiner Matrix, ab der sich nichts mehr ändert, ist 3. Demnach sollte ich jetzt einen Jordan-Block der Länge 5 (alg. VFH) zum EW 4 haben. Dieser Block beinhaltet 2 Kästchen (geom. VFH des Eigenraums zum EW 4) und ein Block hat die maximale Länge 3 (Potenz, ab der sich nichts mehr ändert und demnach auch die Länge des anderen Blocks gleich 2). Demnach sollte meine JNF jetzt so aussehen: Stimmt das jetzt so? Und wenn ja, eine kurze letzte Frage habe ich noch: Bin im Internet auf dieses JNF-Kochrezept gestoßen: http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf Finde es super erklärt und ich habe auch alles verstanden zwecks Basis finden usw. Nur rechnet er es so, dass am Ende eine JNF herauskommt, bei der die Einser unterhalb der Diagonalen stehen. Ich gehe mal davon aus, dass das darauf ankommt, wie man die Basis wählt, liege ich da richtig? Denn unser Professor hat es uns mit den Einsern über der Diagonale erklärt und jetzt würde ich nur gerne wissen, was ich bei dem Kochrezept anders machen muss, damit sowas am Ende rauskommt. Vielen Dank schonmal für eure Antworten, danach habe ich es dann denke ich auch richtig verstanden. |
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