DGL lösen mit Potenzreihenansatz

23.05.2011, 19:54	franziskar	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL lösen mit Potenzreihenansatz Hallo Zusammen Ich dachte ja, dass ich den Potenzreihenansatz beherrsche, aber diese Aufgabe scheint irgendwie nicht zu funktionieren: $\begin{eqnarray} y'(x) = -xy(x) \end{eqnarray}$ Koeffizientenvergleich: $\begin{eqnarray} (a_1+2a_2x+3a_3x^2+...)+(a_0x+a_1x^2+a_2x^3+...) = 0 \end{eqnarray}$ Daraus: $\begin{eqnarray} x^1: 2a_2+a_0 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2: 3a_3+a_1 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^3: 4a_4+a_2 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{k+1} = -\frac{a_{k-1}}{k+1} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} a_0 = 1, a_2 = -\frac{1}{2}, a_3 = \frac{1}{6}, ... \end{eqnarray}$ Mir ist nun klar, dass $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ fehlt. Aber was bedeutet das? Muss ich jetzt die $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ in Zweierschritten auswerten? Gemäss den Lösungen müsste es so sein. Nun meine Frage: Ist das immer so? Also, falls auf "natürliche" Weise ein $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ fehlt (oder mehrere), dass man dann die weiteren Werte diesem Intervall bezüglich auswerten soll? Kann mir jemand von Euch das irgendwie plausibel bestätigen und falls möglich, erklären? Ich bedanke mich im Voraus franziskarrrr
23.05.2011, 20:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL lösen mit Potenzreihenansatz Wie kommst du auf $\begin{eqnarray} a_0 = 1 \end{eqnarray}$ , verarbeitest du da einen (bisher nicht genannten) Anfangswert der DGL? Ohne eine solche weitere Bedingung (wie eben Anfangswert) ist $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ zunächst mal frei wählbar. Im Gegensatz zu $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ , das ist nämlich bereits durch den Koeffizientenvergleich klar festgelegt als $\begin{eqnarray} a_1= 0 \end{eqnarray}$ .
23.05.2011, 20:18	franziskar	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL 9000 Ja, du hast natürlich recht. Ich habe die AB vergessen: $\begin{eqnarray} y(0) = 1 \end{eqnarray}$ , somit $\begin{eqnarray} a_0 = 1 \end{eqnarray}$ Das ändert aber an meinem fehlenden Verständnis nichts. Ja, und $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ ist auch bei mir 0. Danke für die Bemerkung
23.05.2011, 20:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Und mit $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ sind dann auch in der Folge alle $\begin{eqnarray} a_{2k+1}=0 \end{eqnarray}$ .
23.05.2011, 20:25	franziskar	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, jetzt seh ichs! Da alle (2k+1)en Folgeglieder indirekt von a_1 abhängig sind, sind sie somit auch 0! Hatte es mal wieder nicht auf Anhieb gesehen. Danke für den Augenöffner Tschüss

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