Permutationen und Transpositionen - Beweis |
23.05.2011, 22:13 | ChronoTrigger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Permutationen und Transpositionen - Beweis bei dieser Aufgabe bin ich mir nicht sicher, ob ich sie richtig verstanden habe:
Ich wollte das nun so zeigen: . Um nun zu zeigen, dass gilt, müsste es doch eigentlich ausreichen, dass gilt. Dafür sei Wenn ich jetzt darauf anwende, erhalte ich , und damit wäre und damit wäre die Teilmengenbeziehung gezeigt. Habe ich das so richtig verstanden, oder bin ich mit meinen Überlegungen auf dem Holzweg? danke schonmal im voraus. |
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24.05.2011, 01:50 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Permutationen und Transpositionen - Beweis
Damit könnte aber dennoch Gleichheit gelten. Vielleicht hilft es, sich die Aufgabe mal in Worten klarzumachen: Ist kein Fixpunkt von so hat die Abbildung mehr Fixpunkte als . Hier kann man auch schon erahnen, welcher Fixpunkt genau dazukommt. Zum Beweis genügt es, die Fixpunkte von klassifizieren. Wie lässt sich für die Bedingung noch schreiben? Für genau welche Punkte ist diese Gleichung dann erfüllt? Edit: Übrigens geht es in der Betrachtung nicht um die Menge, die Du links notiert hast. Die ganze Abbildung wird in Abhängigkeit eines zu Beginn gewählten Nicht-Fixpunkts von definiert. Die Nicht-Fixpunktmenge von , die Du wohl eigentlich betrachten wolltest ist dann und nicht die von Dir oben genannte. |
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24.05.2011, 07:52 | ChronoTrigger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
danke für die antwort.
Der i-te Fixpunkt kommt immer durch die Transposition hinzu, wenn ich das richtig verstanden habe.
Für ist doch dann und für und ist dann jetzt ist mir allerdings nicht klar, in wie fern mich das weiterbringt. |
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24.05.2011, 08:22 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Besser gesagt, der Fixpunkt , ja.
Hier sieht man den Beweis deiner obigen Behauptung, d.h. . Was passiert denn noch in den verbleibenden Fällen, dass ein Fixpunkt von ist bzw. dass ein Nicht-Fixpunkt von ist? |
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24.05.2011, 09:22 | ChronoTrigger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
um ehrlich zu sein, sehe ich hier momentan noch nichts. Könntest du mir das vielleicht noch einmal erklären?
wenn k ein Fixpunkt von ist, gilt und dann ist und dann ist und Wenn kein Fixpunkt von ist, gilt , dann ist ja auch , dann muss aber oder gelten. Irgendwie verstehe ich aber immer noch nicht, in wiefern mich das nun weiterbringt. |
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24.05.2011, 11:17 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich schreibe im folgenden . Es gilt . Was kommt dabei heraus?
Am Ende gehst Du einen Schritt zurück: wenn ein Fixpunkt von ist, folgt sofort, dass sein muss, da als Nicht-Fixpunkt vorausgesetzt ist. Berechne doch mal .
Denk' darüber lieber nochmal nach. Sei ein Nicht-Fixpunkt von . Was gilt für im Falle von bzw. ? |
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24.05.2011, 16:29 | ChronoTrigger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
ahh, da kommt natürlich i raus, das macht sinn und daraus folgt ja dann bereits die behauptung, da wir dann einen Fixpunkt haben, und die Menge der Nicht-Fixpunkte somit definitiv schon weniger Elemente enthält.
k ist ein Fixpunkt von , d.h. , und damit (wie in deiner Notation) mit der Begründung aus deinem post. also ist , also ist k ein Fixpunkt von und damit kann die Menge der Nicht-Fixpunkte von nur weniger Elemente als die Menge der Nicht-Fixpunkte von enthalten.
Wenn also gilt und k kein Fixpunkt von ist, also wenn gilt, dann gilt im Falle von , dass falls gilt, ist , darüber kann ich doch sonst nichts weiter aussagen. ist es eigentlich Absicht, dass wir die ganze Zeit von einem sprechen? Denn in der aufgabenstellung ist das k ja schon anderweitig definiert, was etwas verwirrend ist. |
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25.05.2011, 17:25 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Richtig, . Aber daraus folgt noch nicht, dass wirklich mehr Fixpunkte hat, schließlich müssen wir noch zeigen, dass es auch die Fixpunkte von festlässt.
Hier hattest Du wohl oben versehentlich statt geschrieben? Die weitere Folgerung ist jedenfalls richtig.
Das hatte ich vielleicht etwas verwirrend ausgedrückt. Sei also ein Nicht-Fixpunkt von mit . Was gilt dann für ?
Stimmt, sorry, ist angesichts der Definition in der Aufgabe eine unglückliche Bezeichnung. Allerdings hatten wir im weiteren diese Definition auch nicht mehr explizit benutzt, sodass es keine Verwirrungen gab. Edit: Fehler in Formel verbessert. |
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25.05.2011, 19:01 | ChronoTrigger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
ah, alles klar.
ja, das war wohl ein tippfehler von mir
dann müsste doch gelten, oder? dann ist k also auch kein Fixpunkt von . |
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25.05.2011, 19:07 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Richtig. |
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25.05.2011, 19:13 | ChronoTrigger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich glaube, ich habe es nun verstanden. danke für deine Hilfe ! |
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25.05.2011, 19:17 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Gern geschehen. Freut mich, dass ich Dir helfen konnte. |
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