kleines Induktions problem

24.05.2011, 00:36

marco12345

kleines Induktions problem

Meine Frage:
seid 2 stunden glotze ich jetz diese aufgabe an... aber ich weis nicht wie man auf die dritte zeile im IS kommt.....

in der Begründung zum schluss raffe ich auch nicht warum der 2. faktor durch 48 teilbar ist

Meine Ideen:
... sorry echt kein plan..

24.05.2011, 00:45

marco12345

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ich muss doch eigentlich noch beweisen das 5^(2n) + 1 druch 2 teilbar ist... nur das kann ich gerade nich so wirklich

24.05.2011, 00:55

marco12345

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ok nun noch meine ansatz

5^(2n+2) +1
=5^(2n) *25 +1

hier komm ich nicht weiter

24.05.2011, 01:33

marco12345

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so meine lösung....

IS.:

2 teilt 5^(2n) *25+1
2 teilt (5^(2n) +1) + 24*(5^(2n) )

der erste Summand ist durch 2 teilbar, nach IA (auch wenn ich kein IA gemacht hab hier)
der zweite ist durch 2 teilbar weil 24 durch 2 teilbar ist....

Ist das richtig??

24.05.2011, 01:36

GLn

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Der Zweite Summand ist auf jeden Fall durch 2 Teilbar, da 5^k für alle k aus |N ungerade ist. (Könnte man wiederrum durch winzigen Induktionsbeweis beweisen)

24.05.2011, 01:39

marco12345

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ich habe ja das nun etwas anders bewisen .. ist das nicht schon der beweis den ich da habe? der müsste doch reichen
oder?

"Also. IS.:

2 teilt 5^(2n) *25+1

2 teilt (5^(2n) +1) + 24*(5^(2n) )

der erste Summand ist durch 2 teilbar, nach IA (auch wenn ich kein IA gemacht hab hier)
der zweite ist durch 2 teilbar weil 24 durch 2 teilbar ist...."

weil wie man beweist ob etwas ungerade ist hab ich noch nie gemacht

24.05.2011, 04:40

Cosinuspihalbe

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du kannst nicht einfach sagen, dass der 2te summand durch 2 teilbar ist, weil 24 durch 2 teilbar ist. nun, du kannst... geht aber an deinem problem vorbei.

schritt für schritt erklärt:
Zeile 1: ausmultiplizieren
zeile 2: weiteres ausmultiplizieren
zeile 3: von den $\begin{eqnarray*} 25 \cdot 5^2n \end{eqnarray*}$ wird eines "abgezwackt", sodass man durch kommutation und assoziation den term bzw summand $\begin{eqnarray*} (5^{2n}+24n-1) \end{eqnarray*}$ bekommt.
zeile 4: vereinfachung des 2ten summanden.

$\begin{eqnarray*} (5^{2n}+24n-1) \end{eqnarray*}$ ist laut vorraussetzung, welche mit der verankerung n=0 gezeigt wurde, durch 48 teilbar.

aber es geht dir ja gerade darum zu zeigen, dass das "+1" von deinem n+1 auch durch 48 teilbar ist.

nennen wir den zweiten summanden $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ . momentan ist $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ in der form $\begin{eqnarray*} S_2=24 \cdot x \end{eqnarray*}$ .
wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nun durch 2 teilbar ist, also die form $\begin{eqnarray*} x=2 \cdot y \end{eqnarray*}$ hat, dann hätte $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ die form:
$\begin{eqnarray*} S_2=24 \cdot 2 \cdot y = 48 \cdot y \end{eqnarray*}$ und wäre somit durch 48 teilbar.

also liegt es nahe zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 5^{2n}+1 \end{eqnarray*}$ durch 2 teilbar ist.

vom grundsatz her haben wir da $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ stehen und sofern x ungerade ist, muss x+1 gerade sein und somit durch 2 teilbar.
5 ist ungerade, aber ist auch $\begin{eqnarray*} 5^{2n} \end{eqnarray*}$ ungerade?
intuitive antwort: logo!
formale überlegung: $\begin{eqnarray*} 5^{2n} \end{eqnarray*}$ ist nichts weiter als
$\begin{eqnarray*} \underbrace{5 \cdot 5 \cdot ... \cdot 5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2n-fach \end{eqnarray*}$

wir prüfen also, ob das produkt zweier ungerader zahlen wiederum ungerade ist.
eine ungerade zahl lässt sich mit $\begin{eqnarray*} 2\cdot q +1 \end{eqnarray*}$ darstellen.
wir nehmen nun 2 beliebige ungerade zahlen:
$\begin{eqnarray*} (2 \cdot p +1) \cdot (2 \cdot q +1) = 4pq+2p+2q+1 = 2 \cdot (2pq+p+q) +1 \end{eqnarray*}$
haben also gezeigt, dass wieder eine ungerade zahl herauskommt.

dass $\begin{eqnarray*} 5^{2n} \end{eqnarray*}$ nun auch ungerade ist, kannst du nun entweder formal durch induktion zeigen oder lockerer argumentativ, da es ja nur das 2n-fache produkt von 5 ist.

somit ist $\begin{eqnarray*} 5^{2n}+1 \end{eqnarray*}$ gerade und durch 2 teilbar.

voila

24.05.2011, 12:21

marco12345

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ok bis jetz leuchtet das alles ein und klingt logisch...

aber wenn ich jetz rein durch induktion zeigen will, das 5^(2n) ungerade ist...

wie mach ich das?

also laut IA ist 5 ^1 gleich 5 ok ungerade..

laut IS 5^(2n) +5^2 nun sehe ich aber eben nich ob das ungerade ist

24.05.2011, 12:58

lgrizu

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Eine ungerade Zahl multipliziert mit einer ungeraden Zahl ist immer ungerade, also ist $\begin{eqnarray*} 5^{2n} \end{eqnarray*}$ ungerade. Ebenso ist $\begin{eqnarray*} 5^2 \end{eqnarray*}$ ungerade. Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade, so wird das also nichts, denn es ist $\begin{eqnarray*} 5^{2n+2}=5^{2n} \cdot 5^2 \neq 5^{2n}+5^2 \end{eqnarray*}$ .

Man kann aber auf $\begin{eqnarray*} 5^{2n} \cdot 5^2 \end{eqnarray*}$ die Induktionsvorraussetzung anwenden, nämlich dass $\begin{eqnarray*} 5^{2n} \end{eqnarray*}$ ungearde ist, was ist mit 5², gerade oder ungerade? Ist das Produkt zweier ungerader Zahlen gerade oder ungerade?

Edit: ...Induktion ist hier allerdings mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Augenzwinkern

24.05.2011, 13:03

marco12345

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ja sagtest du ja schon das das produkt 2er ungerader zahlen ungerade ist... also wird das alles ungerade... ich glaub jetz hab ichs geraft...

nur wie schreibt ich das induktiv förmlich auf.... in worten? oder wie mach ich das?

24.05.2011, 13:06

lgrizu

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Natürlich in Worten, wie denn sonst?

Da du bei der Induktion allerdings das Argument benutzt, dass Potenzen (Produkte) von ungeraden Zahlen ungerade sind, kann man auch gleich das Argument anführen und sagen, dass $\begin{eqnarray*} 5^{2n} \end{eqnarray*}$ ungerade ist, weil Produkte von ungeraden Zahlen immer ungerade sind, man benutzt das gleiche Argument und Induktion ist hier wirklich überflüssig.

24.05.2011, 13:11

marco12345

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ja induktion würde ich auch nich machen... wir sollns aber so machen das die eigentliche anfangsaufgabe induktiv gelöst werden soll ...

jedoch mit hilfe einiger notwendiger induktiven beweise für andere elemente in der aufgabe....

sprich ich soll wohl induktiv beweisen, das 5^(2n) +1 durch 2 teilbar ist.....

warum das so ist habt ihr mir gut erklärt und das leutet ein...
nur wie mache ich das schön mit induktion und guter form....
(meine rofessorin hängt sich imemr an den kleinsten dingen auf, wenn etwas nicht förmlich korrekt ist...

verwirrt

24.05.2011, 13:13

lgrizu

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Einiges steht doch hier, der Induktionsbeweis, dass $\begin{eqnarray*} 5^{2n} \end{eqnarray*}$ gerade ist auch, das ist ganz analog dazu, dass $\begin{eqnarray*} 5^{2n}+1 \end{eqnarray*}$ ungerade ist.

24.05.2011, 13:14

marco12345

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ok dann schreib ichs mal einfach in worten so auf... dankeschön Freude

24.05.2011, 16:22

lgrizu

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Mir ist eine kleine Verwechslung unterlaufen:

Zitat:

Original von lgrizu
Einiges steht doch hier, der Induktionsbeweis, dass $\begin{eqnarray*} 5^{2n} \end{eqnarray*}$ ungerade ist auch, das ist ganz analog dazu, dass $\begin{eqnarray*} 5^{2n}+1 \end{eqnarray*}$ ungerade ist.

Und du kannst deine Induktion dann ja noch posten, dann kann man da noch drüber schauen.

24.05.2011, 17:56

Cosinuspihalbe

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dass $\begin{eqnarray*} 5^{2n} \end{eqnarray*}$ ungerade ist durch induktion zu zeigen ist nur relativ betrachtet mit kanonen auf spatzen schießen. gerade wenn deine professorin zur pedanterie neigt. das ist auch gut so, schließlich solltest du alles was du machst bis ins detail erklären können, wenns verlangt wird.
als genereller tipp: wenn im skript etwas noch nicht bewiesen wurde, dann zeige es formal einwandfrei, dann kann dir keiner an den karren pissen, pedantisch oder nicht.

und induktion ist zu wichtig als beweistechnik. kann mich selber noch daran erinnern, wie lange es bei mir gedauert hat, bis es wirklich klick gemacht hat.

du hast scheinbar noch schwierigkeiten mit induktionsbeweisen und wir haben hier ein sehr überschaubares beispiel, daher zeige ich es dir:

wir zeigen es für den allgemeinen fall $\begin{eqnarray*} x^{2n} \end{eqnarray*}$ wobei x ungerade ist.

wir setzen einfach mal voraus, dass $\begin{eqnarray*} x^{2n} \end{eqnarray*}$ ungerade ist; es ist also unsere Induktionsvorraussetzung.

jetzt brauchen wir einen startpunkt, von dem wir aus loslegen können. hierfür nimmt man meist n=0 oder n=1 (je nachdem ob 0 zu N gehören soll).
achtung: wenn du nicht das kleinstmögliche n für den start nimmst, dann hast du für kleinere n keinen beweis geliefert.

wir setzen also n=0 und nennen es induktionsanfang (oder anker oder ähnliches)

$\begin{eqnarray*} x^{2\cdot 0}=x^0=1 \end{eqnarray*}$

1 ist ungerade, also haben wir für einen speziellen fall gezeigt, dass die vorraussetzung passt.
jetzt wollen wir zeigen, dass auch die nachfolgenden n "passen".

du kennst den schritt als "setze n=n+1". achtung: setze am besten eine klammer darum, weil du sonst zu falschen schlüssen kommen kannst.

wir machen also von unserem bewiesenen startpunkt einen schritt nach vorn und nennen es induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} x^{2(n+1)}=x^{2n+2}=x^{2n} \cdot x^2=x^{2n} \cdot x^1 \cdot x^1=x^{2n} \cdot x \cdot x \end{eqnarray*}$

genau hier liegt der punkt, mit dem viele schwierigkeiten haben.
warum hab ich so umgeformt, dass $\begin{eqnarray*} x^{2n} \end{eqnarray*}$ dort steht? weil das genau die angenommene vorraussetzung ist, für die wir für ein spezielles n schon den beweis geliefert haben.
bei falscher umformung macht man hier gerne mal zirkelschlüsse.

wir können unsere betrachtung also auf $\begin{eqnarray*} x \cdot x \end{eqnarray*}$ lenken. und da oben schon bewiesen wurde, dass das produkt von ungeraden zahlen wieder ungerade ist, ist der beweis nun erbracht.

such dir im netz einfache induktionsbeweise, schreib sie ab und pack sie weg. versuche später irgendwann den beweis selber nochmal und vergleiche.
so kannst du ganz gut ein feeling dafür bekommen.

24.05.2011, 18:21

lgrizu

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@Cosinuspihalbe:

Bitte lies dir unser Boardprinzip durch, marco hat alle erdenklichen Tipps bekommen und ebenso einen analogen Induktionsbeweis, kein Grund, eine Lösung zu posten.

Zum zweiten:

Zitat:

und da oben schon bewiesen wurde, dass das produkt von ungeraden zahlen wieder ungerade ist,

Wo hast du das bewiesen? verwirrt

Du zeigst hier, dass die gerade Potenz einer ungeraden Zahl ungerade ist, nicht, dass beliebige ungerade Zahlen miteinbander multipliziert wieder ungerade sind, das ist zu benutzen, man kann es auch kurz zeigen, die Frage ist dann, was alles noch zu zeigen ist.

Der Induktionsbeweis ist hier eigentlich geschnekt, denn man benutzt im Beweis selbst ein Argument, dass alleine schon ausreicht, die Aussage zu verifizieren, nämlich dass das Produkt zweier ungerader Zahlen wieder ungerade ist.

Dieses Argument alleine reicht aus, um zu sagen, dass $\begin{eqnarray*} 5^{2n} \end{eqnarray*}$ ungerade ist, deshalb ist der Induktionsbeweis völlig überflüssig.

24.05.2011, 18:28

Cosinuspihalbe

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nen paar posts weiter oben ist das mit dem produkt von ungeraden zahlen.

hast recht mit dem boardprinzip

und ja, der induktionsbeweis ist in diesem fall überflüssig, aber selbst ein blinder sollte erkennen, dass marco nicht fit mit induktion ist und an einem einfachen beispiel erklärt es sich am einfachsten.

und ich hatte auch nicht den eindruck, dass er nur eine antwort abstauben möchte, sondern echte verständnisschwierigkeiten hatte.

man kann helfen, muss aber nicht, hast schon recht.

24.05.2011, 18:30

lgrizu

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Zitat:

Original von Cosinuspihalbe
nen paar posts weiter oben ist das mit dem produkt von ungeraden zahlen.

got it.

24.05.2011, 21:20

marco12345

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ja lso ich hab das alles nochmal von vorn nach hinten gerachnet.. und bin auf die selbe lösung gekommen..

vielen dank trotzdem...

zur anderen sache... wegen boardprinziep.... also ich bin wirklich nicht an kompletlösungen interessiert, weil mir das in klausuren nichts bringt...

andererseits, fand ichs hier mal wirklich gut nochmal haarklein alles erklärt zu bekommen... weil ich habs eigentlich alles verstanden, was induktion sein soll.. hänge mich aber immer wieder an kleinigkeiten auf.. von daher versteh ich manchmal erst dinge , wenn ich die lösung sehe.. verwirrt

mittlerweile ist das thema sogar recht logisch mit den induktionen.. man ist halt meist nur blind .. also ich zumindest Hammer

vielen dank euch beiden für die guten tips Wink

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