Anwendung von de l'Hospital

24.05.2011, 11:40	Sebastian R.	Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung von de l'Hospital Hallo, ich soll die Regel von de l'Hospital anwenden, um folgenden Grenzwert zu bestimmen. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to o^{+}} ln(x)ln(1-x) \end{eqnarray}$ Allerdings ist die l'Hospitalsche Regel doch so formuliert, dass (bei gegeben Voraussetzungen) gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_{0}} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray}$ Ich komme irgendwie nicht auf den entscheidenden Schritt, um die Aufgabe zu lösen. Hat irgendjemand einen Tipp? Viele Grüße und schonmal Danke
24.05.2011, 11:53	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
L'Hospital ist dann von Vorteil, wenn die Ableitungen strukturell einfacher sind als die Originalfunktionen. Das ist bei unbedachter Anwendung nicht immer der Fall, manchmal sollte man daher vorher eine geeignete Trennung vornehmen, z.B. so: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0+} \ln(x)\ln(1-x) = \lim_{x\to 0+} x\ln(x) \cdot \lim_{x\to 0+} \frac{\ln(1-x)}{x} \end{eqnarray}$ Wie üblich wird dieses Vorgehen im Nachhinein gerechtfertigt, wenn man gezeigt hat, dass beide Grenzwerte rechts existieren. Und jetzt erst L'Hospital, auf einen oder alle beide GW rechts angewandt.
24.05.2011, 12:31	Sebastian R.	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt also, wenn ich mir folgenden Grenzwert anschaue, dass: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0+} \frac{ln(1-x)}{x} = \lim_{x \to 0+} \frac{x}{x - 1} = 0 \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0+} x = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0+} x - 1 = 1 \end{eqnarray}$ und mittels der Quotientenregel der Grenzwertsätze gilt dann erste Gleichung. Damit ist dann der gesamte Grenzwert 0. Ist das so richtig?
24.05.2011, 12:47	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Offensichtlich nicht, wie man an dem Plot sieht:

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