"Umkehrkongruenz" angewendet auf Quadrik

Neue Frage »

GLn Auf diesen Beitrag antworten »
"Umkehrkongruenz" angewendet auf Quadrik
Denke habe hier ein Verständnisproblem.

Sei Q eine ebene Quadrik, gegeben durch die Gleichung Q:

Sei f: eine Kongruenz der Form f(x) = Sx+v mit S


Bestimmen sie eine Gleichung für die Quadrik Q' = , d.h. bestimmen sie A', B', c', so dass Q':


Was habe ich gemacht? Habe die Umkehrfunktion der Kongruenz bestimmt, das Ganze dann für x in die Quadrik eingesetzt und umgeformt. (y=Sx+v nach x) Ergebnis:

Q' =

D.h. A' wäre , B' wäre und am c würde sich nichts ändern.
Ich hab aber statt x nun den Vektor (y-v).

Oder hab ich totalen Unsinn gemacht?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Rechnung ist ok. Geometrisch betrachtet hast du eine Kurve 2.Ordnung (z.B. eine Ellipse) von einem Koordinatensystem in ein anderes Koordinantensystem transformiert, welches gegenüber dem ersteren verschoben und verdreht ist.
GLn Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist das Ergebnis der Aufgabe entsprechend richtig und die Aufgabensteller waren ungenau, weil das x der Ausgangsquadrik Q in der Aufgabe auch das x der verschobenen Quadrik Q' ist ?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe vergessen zu sagen, dass Du die ersten beiden Summanden deiner neuen Quadrik Q' noch ausmultiplizieren musst. Dadurch entstehen neue quadratische, lineare und konstante Summanden, die du wiederum nach Potenzen sortieren musst.

Zum Beispiel entsteht durch's Ausmultiplizieren des quadratischen Summanden deiner neuen Quadrik Q' der konstante Summand , so dass der konstante Summand c im neuen Koordinatensystem einen anderen Wert bekommt.
GLn Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh wie multipliziere ich hier aus?

ist aus Dimensionsgründen natürlich ein Skalar, ist ein Vektor aus dem

Aber dann ist die Struktur ja weg, die ich für die Lösung brauche, gesucht ist ja eine Quadrik in Matrixdarstellung.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach ausmultiplizieren, wie man das aus der Elementarmathematik kennt:





Da bei einer Quadrik die Matrix A als symmetrsich angenommen werden darf, sind die beiden linearen Summanden in der letzten Gleichung identisch und können zusammengefasst werden. Setze diese ausmultiplizierten Terme in deine Quadrik Q' ein und ordne die quadratischen, linearen und konstanten Summanden. Dann bekommst du wieder eine Quadrik der gleichen Struktur wie vorher



Allerdings sehen die Größen A', b', c' jetzt etwas anders aus
 
 
GLn Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Dir.

Nun ist im b)- Teil ein explizites Beispiel für Q und f gesucht, so dass:

Q nicht ausgeartet ist
f(Q) = Q
v ungleich 0

Habe Schwierigkeiten mir vorzustellen, wie ein Beispiel auszusehen hat.

Mit der Matrix S dreht man die Quadrik
Mit dem Vektor v verschiebt man die Quadrik

Da v ungleich 0, muss die Quadrik auf irgendeine Weise verschoben werden.
Wenn f(Q) = Q gelten soll, müsste ich doch aber mit meiner Matrix S diese Verschiebung rückgängig machen (?)
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem wir die Koordinatentransformation in die alte Quadrik eingesetzt haben, ergab sich



Ausmultiplizieren und Zusammenfassen lieferte



Sortieren nach Potrenzen liefert



Da S eine Drehung ist, habe ich geschrieben und folglich . Wenn ich dich richtig verstehe, sollst du eine Koordinatentransformation mit derart finden, dass die die Quadrik in sich selbst überführt wird. Es soll also gelten

A'=A,

c'=c,

also





Überleg' mal, ob das geht. Zum Beispiel kann man sich vorstellen, dass eine Ellipse, deren Mitte auf der x-Achse im Punkt liegt zuerst um 180° um den Koordinantenursprung gedreht wird, so dass die Mitte danach im Punkt liegt. Danach verschiebt man die Ellipse entlang der x-Achse an den alten Platz zurück und hat wieder die gleiche Ellipse wie zuvor.
Chaos-mit-Rollen Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich statt einer ellipse einen kreis nehme, weil dann in der quadrik a1,1 =a2,2, und den rest so lasse, also 180° drehung um x achse mittelpunkt ist (xo,0) bzw (-xo,0) dann ist mein radius=xo aber wie ich nun eine Q daraus mache verstehe ich nicht

ich habe angefangen den klamauk rückwärts zu rechnen, also ich weiss 180° drehum um den ursprung also in S die 180 eingesetz da kam dann in der diagonalen -1 raus...dann sind meine eigenvektoren (-1, 0) und (0,-1) und da hörts dann auf und ich weiss nicht weiter..
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte doch mal den Fall, dass um 180° gedreht wird. Dann ist die Drehmatrix gerade die negative Einheitsmatrix

Chaos-mit-Rollen Auf diesen Beitrag antworten »

ja bis dahin sind wir auch gekommen

dann zu den eigenvektoren zurück rechnen..

die drehmatrix besteht aus den orthonormierten eigenvektoren...also...da hörts dann iwie auf..bis grade dachte ich die eigenvektoren sind (-1,0) und (0,-1) aber jetze iwie doch nicht mehr
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »