Probleme mit 2 (parameterabhängigen) Integralen

24.05.2011, 14:54	pablosen	Auf diesen Beitrag antworten »
Probleme mit 2 (parameterabhängigen) Integralen Hallo zusammen Ich habe hier mit 2 Integralen ein ziemliches Problem. 1. Integral: $\begin{eqnarray} \int_0^{1}\sqrt{1-y^2} dy<br /> \end{eqnarray}$ 2. Integral: $\begin{eqnarray} \int_0^{1}\int_0^{\sqrt{1-y^2}}\sqrt{x^2+y^2} dx dy<br /> \end{eqnarray}$ Meine Versuche bisher: 1.Integral $\begin{eqnarray} \underbrace{=}_{part.Int.} \int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}} \underbrace{=}_{part.Int.} arcsin(1)-arcsin(1)+ \int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}<br /> \end{eqnarray}$ Ich versuche da seitenweise, drehe mich aber dauernd im Kreis und kann irgendwie auch nie Substitution anwenden. 2. Integral $\begin{eqnarray} \underbrace{=}_{part.Int.} \int_0^1 ( (x\sqrt{x^2+y}\|_0^{\sqrt{1-y^2}} - \int_0^{\sqrt{1-y^2}} \frac{x^2}{\sqrt{x^2+y}}dx )dy ) \end{eqnarray*}$ Auch hier habe ich wirklich keinen Plan mehr. Wäre um eure Hilfe froh. Grüsse Pablo
24.05.2011, 14:58	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das erste Integral ist ein Kreis mit Radius 1. Das Ding kann man zwar Integrieren, aber ich glaube ich würde bei den Grenzen einfach feststellen, dass ein Viertel des Flächeninhaltes des Einheitskreises gesucht ist.
24.05.2011, 15:18	pablosen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Integral ist aber von Hand zu lösen. Klar, es gibt pi/4=arcsin(1)/2, aber bisher hat mir das leider auch nicht geholfen.
24.05.2011, 16:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum einfach, wenn es auch umständlich geht! JdPL sagt das einzig Richtige, nämlich "Viertelkreis". Wozu also mit Integrationsregeln alles hin- und herschieben, wenn man das Ergebnis sowieso schon kennt? Wenn du es dennoch versuchen willst, dann substituiere $\begin{eqnarray} y = \sin t \end{eqnarray}$ . (Übrigens: Diese Aufgabe wurde im Board sicher schon 9999-mal behandelt.) Und beim zweiten Integral ist der Integrationsbereich der Viertelkreis $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 \leq 1 \, , \ x \geq 0 \, , \ y \geq 0 \end{eqnarray}$ Hier bieten sich Polarkoordinaten an: $\begin{eqnarray} x = r \cos t \, , \ \ y = r \sin t \ \ \text{mit} \ \ 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \, , \ 0 \leq r \leq 1 \end{eqnarray}$

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