endl. Körper [ÜAB]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
endl. Körper [ÜAB]
Zitat:
Gegeben ist als endlicher Körper und . Zeige: ist das Produkt aller irreduziblen Polynome in mit Leitkoeffizient 1, deren Grad n teilt


So, Ochs und Berg... Von q müßte man annehmen dürfen, dass es sich um die Potenz einer Primzahl p handelt, also . Weiter ist der Zerfällungskörper von über .

Das Produkt der Leitkoeffizienten muss 1 ergeben. Da wir in einem Körper sind, kann man dies durch Normierung der Polynome sicherstellen. (Ausklammern von Einheiten ändert nichts an reduzibel/irreduzibel). Die Forderung an die Exponenten ist zumindest nicht störend... Big Laugh

Aber wie setze ich hier denn an?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe kann so nicht stimmen, da das Polynom in in Linearfaktoren zerfällt. Ich vermute stark, dass stattdessen das Produkt der irreduziblen normierten Polynome in gemeint ist, deren Grad n teilt.
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wie hängen denn und zusammen?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Gar nicht. Ich hatte mich verlesen. Hammer

Als Ansatz für die Aufgabe: zerfällt in in Linearfaktoren. Wenn f ein Polynom mit Koeffizienten in ist, dessen Grad n teilt, zeige dass es einen Zerfällungskörper von f in gibt.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Komme nicht weiter.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du denn, welche Zwischenkörper für allgemeines k hat?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Würde nun "raten", dass es die kleineren Potenzen von p sind... verwirrt
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Das braucht man für die Aufgabe, denke ich. Wenn K ein in enthaltener Körper ist, dann kann man ja als K-Vektorraum auffassen. Das liefert schon mal eine Einschränkung für die Möglichkeiten, wie viele Elemente K haben kann.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Das muss ich morgen machen.
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