Binominalkoeffizient

24.05.2011, 18:40

DonaldDuck

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Binominalkoeffizient

Meine Frage:
Hallo. Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist

Meine Ideen:
ich weiß was Binominalkoeffizeinten sind, allerdings hatten wir bisher immer Zahlen unten stehen, deswegen weiß ich nicht wie ich das zeigen soll. Bin für eure Hilfe dankbar!

24.05.2011, 18:46

JdPL

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Ich weiß nicht, wie ihr die Binomialkoeffizienten definiert habt, aber der Wikipediaartikel ist für diese Aufgabe grundsätzlich eine gute Hilfe.

24.05.2011, 19:33

DonaldDuck

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den hab ich mir schon angeguckt, aber ich kann ich nicht wirklich auf diese Aufgabe anwenden. Also wir hatten zum beispiel

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}= \frac{7*6*5*4*3*2*1}{4!*(7-4)!} \end{eqnarray*}$

aber das mit dem k verwirrt mich echt...

wenn ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\frac{m!}{(k-1)!(m-k+1)!} +\frac{m!}{k!(m-k)!} \end{eqnarray*}$ mache komme ich nicht weiter, da ich nich weiß wie man dies als Bruch wie oben bei 7 über 4 schreibt...

24.05.2011, 20:16

Dopap

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nicht so eilig!
Erst mal die Brüche addieren -> Hauptnenner ->welcher Bruch muss um was erweitert werden?
Danach kann man schauen ob der neue Bruch ein Binomialkoeffizient ist...

24.05.2011, 21:49

DonaldDuck

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also ich würd sagen der linke Bruch muss mit k erweitert werden. Dann sieht er so aus: $\begin{eqnarray*} \frac{k*m!}{k!(m-k+1)!} +\frac{m!}{k!(m-k)!} \end{eqnarray*}$ Stimmt das überhaupt?

er ist dann aber immer noch nicht den gleichen Nenner wie der rechte... unglücklich

unglücklich

24.05.2011, 22:27

Dopap

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immer Eins nach dem Anderen abarbeiten.
soweit richtig.
Der 2. Teilnenner des ersten Bruches geht fakultativ bis n-(k-1) . Welcher Faktor fehlt dem
2. Teilnenners des 2. Bruches bis zu
(n-(k-1))!
?

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25.05.2011, 14:34

DonaldDuck

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ein m, also m*(m-k)!=(m-k+1)! ?
stimmt das?

25.05.2011, 14:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von DonaldDuck
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\frac{m!}{(k-1)!(m-k+1)!} +\frac{m!}{k!(m-k)!} \end{eqnarray*}$

Richtig ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} + \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von DonaldDuck
ein m, also m*(m-k)!=(m-k+1)! ?
stimmt das?

Offensichtlich nicht. (Siehe m=3, k=0)

25.05.2011, 15:10

DonaldDuck

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oh mist tut mir leid, also es soll immer nur n sein, hab aus versehen ein paar mal stattdessen m genommen

25.05.2011, 15:17

DonaldDuck

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also ich bin immer noch bei dem problem: $\begin{eqnarray*} \frac{k*n!}{k!(n-(k-1))!} +\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

hm wenn ich aus der klammer im 2. bruch ein k rausziehe, dann würde ja ein k-1 stehen bleiben wie im 1. bruch. Des heißt doch dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{k*n!}{k!(n-(k-1))!} +\frac{n!}{(k+1)!(n-(k-1))!} \end{eqnarray*}$

und dann links noch mal mit k multiplizieren, dann sieht es doch so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{k^2*n!}{(k+1)!(n-(k-1))!} +\frac{n!}{(k+1)!(n-(k-1))!} \end{eqnarray*}$ oder???

25.05.2011, 15:30

klarsoweit

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Vergleiche doch mal $\begin{eqnarray*} (n-(k-1))! \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (n-k)! \end{eqnarray*}$ .
Welche Faktoren haben die Fakultäten und um welchen Faktor unterscheiden die sich?

Vielleicht hilft es, wenn du $\begin{eqnarray*} (n-(k-1))! \end{eqnarray*}$ umformst in $\begin{eqnarray*} (n-k+1)! \end{eqnarray*}$ .

25.05.2011, 15:45

fleurita

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DonaldDuck
ich würde sagen $\begin{eqnarray*} (n-k+1)!=(n-k+1)*(n-k)*(n-k-1)*(n-k-2) \end{eqnarray*}$ usw. und $\begin{eqnarray*} (n-k)!=(n-k)*(n-k-1)*(n-k-2)... \end{eqnarray*}$

wenn das stimmt was ich hingeschrieben habe, dann müsste ich $\begin{eqnarray*} (n-k)! \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (n-k+1) \end{eqnarray*}$ multiplizieren um $\begin{eqnarray*} (n-k+1)! \end{eqnarray*}$ zu erhalten

bidde das muss jetz stimmen! smile

smile

25.05.2011, 15:48

Equester

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@fleurita: Es ist die Aufgabe des Fragestellers diese Antwort zu geben. Nicht
die deinige. Aber bevor ich weiter ausufere lies dir bitte mal dies durch:
Unser Prinzip.

Wink

Wink

25.05.2011, 15:54

fleurita

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Big Laugh

bin grad mit meiner sis am pc, hab die antwort aber selber rausgefunden! Sie hat hat mir nur ein denkanstoß gegeben Big Laugh

Big Laugh

heißt das die lösung stimmt?

p.s.: bin DonaldDuck, da oben steht nur fleurita weil meine sis sich grad eingeloggt hat smile

smile

25.05.2011, 16:01

Equester

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Dann nehme ich meine Zurechtweisung natürlich zurück Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der obige Post stimmt, aber ich bin hier raus. Will klarsoweit den Spaß nicht verderben Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.05.2011, 16:06

klarsoweit

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@Equester: kannst gerne weitermachen, habe keine Zeit mehr.

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