K-lineare Abbildung [ÜAB]

24.05.2011, 17:00

tigerbine

K-lineare Abbildung [ÜAB]

Zitat:

Sei K ein Körper.

(a) Es gibt genau eine K-lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} D:~K[x] \to K[x] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D(x^0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D(x^n)=nx^{n-1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Erinnert ja stark an differenzieren. Man betrachtet hier also K[x] als Vektorraum (Polynomraum mit Monombasis) über den Körper K. Damit die Abbildung linear ist, muss gelten für k aus K und f,g aus K[x]

D legt die Bilder einer Basis von K[x] eindeutig fest. Dadurch ist eine lineare Abbildung von K[x] nach K[x] eindeutig bestimmt. Die Bilder liegen in K[x], also existiert die Abbildung.

Zitat:

(b) Für D gilt die Produktregel: $\begin{eqnarray*} D(fg)=fD(g)+D(f)g \end{eqnarray*}$

Ausrechnen beider Seiten und Koeffizientenvergleich.

Zitat:

(c) Ein Polynom f aus K[x] ist genau dann nicht separabel, wenn f und D(f) einen gemeinsamen Teiler g mit Grad(g)>0 haben.

Separabel heißt, dass in einem Zerfällungskörper f nur einfache Nullstellen, also keine doppelten Lineafaktoren hat. Sei also L ein Körper, über dem f und D(f) zerfallen. Ohne Einschränkung kann man von normierten Polynomen ausgehen.

1. Grad(f)=0 =>Nur Nullpolynom oder konstante Funktion. Passt.

2. Grad(f)=1 => f=x-d, d beliebig, D(f)=1. Passt.

3. Grad(f)>1. Sei f separabel dann gilt $\begin{eqnarray*} f=\tilde f(x-d) \end{eqnarray*}$ für eine beliebige Nullstelle. Dann ist

$\begin{eqnarray*} D(f)=D(\tilde f(x-d))=\tilde f D(x-d) + D(\tilde f)(x-d)=\tilde f \cdot 1 +D(\tilde f)(x-d) \end{eqnarray*}$

Nun gilt aber $\begin{eqnarray*} (x-d) \nmid \tilde f \end{eqnarray*}$ und da d beliebig gewählt war, haben f und D(f) keinen gemeinsamen Teiler g mit Grad(g)>0. Mit dieser Argumentation kann man für f nicht separabel zeigen, dass es ein solches g gibt. Damit müsten beide Richtungen gezeigt sein.

Zitat:

(d) Ein irreduzibles Polynom f aus K[x] ist genau dann separabel, wenn $\begin{eqnarray*} D(f)\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt

Hier fehlen mir gerade die Ordnung in den Überlegungen. K könnte auch endlich sein und mit dem runteholen von Potenzen könnten auch Terme in der Ableitung wegfallen... verwirrt

27.05.2011, 08:59

Reksilat

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Morgen tigerbine,

a)-c) sehen gut aus.

Zu d):
Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ separabel ist, so kannst Du die Argumentation aus c) anwenden und dann einfach mal $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ einsetzen.
Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ inseparabel und $\begin{eqnarray*} D(f)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , so kannst Du Dir einen ggT konstruieren.

Gruß,
Reksilat.

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