Gleichung Umformen Additionstheoreme

24.05.2011, 20:24

Jason90

Gleichung Umformen Additionstheoreme

Meine Frage:
Folgende Gleichungen möchte ich so umformen das ich am ende C alleine stehen habe ohne cos bzw. sin z.
$\begin{eqnarray*} 1.)A\sin(x) + B \sin(y) = C\cos(z) 2.)-A\cos(x) + B\cos(y) = C\sin(z) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich quadiere beide und erhalte:
$\begin{eqnarray*} 1.)A\sin(x)^{2} + B \sin(y)^{2} = C\cos(z)^{2} 2.)-A\cos(x)^{2} + B\cos(y)^{2} = C\sin(z)^{2} \end{eqnarray*}$
dann adiere ich beide Gleichungen:
$\begin{eqnarray*} A\sin(x)^{2}-A\cos(x)^{2}+B \sin(y)^{2}+ B\cos(y)^{2} = C\cos(z)^{2}+C\sin(z)^{2} \end{eqnarray*}$

Kann ich jetzt das Additionstherem cos(alpha + beta) = cos(alpha)*cos(beta) - sin(alpha)*sin(beta) anwenden? wenn ja wie wäre der nächste Schritt?

24.05.2011, 23:12

schultz

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RE: Gleichung Umformen Additionstheoreme

Zitat:

Original von Jason90
Meine Frage:
Folgende Gleichungen möchte ich so umformen das ich am ende C alleine stehen habe ohne cos bzw. sin z.
$\begin{eqnarray*} 1.)A\sin(x) + B \sin(y) = C\cos(z) 2.)-A\cos(x) + B\cos(y) = C\sin(z) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich quadiere beide und erhalte:
$\begin{eqnarray*} 1.)A\sin(x)^{2} + B \sin(y)^{2} = C\cos(z)^{2} 2.)-A\cos(x)^{2} + B\cos(y)^{2} = C\sin(z)^{2} \end{eqnarray*}$

du hast falsch quadriert...du musst links die binomische formel anwenden
der nächste schritt nach dem addieren wäre dann auf der rechten seite den trigonometrischen pythagoras anzuwenden.damit wärst du eigentlich schon fertig...

25.05.2011, 11:08

Jason90

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Wie heißt dann der nächste Schritt?

$\begin{eqnarray*} (A\sin(x) +B\sin(y) )^{2} =C^{2}\cos(z) A^{2}\sin(x)+B^{2}\sin(y)+2AB\sin(x)\sin(y)=C^{2}\cos(z) \end{eqnarray*}$

Wenn nicht, dann bitte den ersten Schritt vorrechnen.

Woran erkenne ich das ich das mit der binomischen Formel rechnen muss?

25.05.2011, 19:07

schultz

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genau so...jetzt noch die zweite gleichung quadrieren und dann addieren. wenn du eine summe aus 2 summanden quadrierst, musst du die binomischen formeln anwenden.

25.05.2011, 19:17

Thalesman

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Jason,
wenn Du trigonometrische Funktionen quadrierst, solltest Du das besser folgendermaßen darstellen:
$\begin{eqnarray*} ( \ \sin(x) \ )^2 = \sin^2(x) \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} ( \ A \cdot \sin(x) \ )^2 = A^2 \sin^2(x) \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} ( \ A \cdot \sin(x) + B \cdot \sin(y) \ )^2 = A^2 \sin^2 (x) + 2AB \cdot \sin(x) \sin(y) + B^2 \sin^2(y) \end{eqnarray*}$
smile

25.05.2011, 20:57

Jason90

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Habe die zweite Gleichung wie Beschrieben quadriert und dann mit der ersten addiert und erhalte nach zusammenfassen folgendes:

$\begin{eqnarray*} A^{2}(sin^{2}(x)+cos^{2}(x)) -2AB(cos(x+y)) + B^{2}(sin^{2}(y)+cos^{2}(y)) = C^{2}(sin^{2}(z)+cos^{2}(z)) \end{eqnarray*}$

Ist es bis hier hin richtig? Wie gehe ich jetzt vor?