Mithilfe von 3 Vektoren Flächeninhalt von Dreieck berechnen

24.05.2011, 20:28

Edelreth

Mithilfe von 3 Vektoren Flächeninhalt von Dreieck berechnen

Meine Frage:
Hallo,
ich brauche ein wenig Hilfe, ich schreibe morgen eine Klausur über Vektorrechnung und stehe grade noch vor einem Problem:
Ich habe 3 Punkte, die zusammen ein Dreieck bilden. Nun muss man davon den Flächeninhalt berechnen.
Die drei Punkte:
$\begin{eqnarray*} P_{1} \end{eqnarray*}$ (2|1|0), $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ (-4|7|3), $\begin{eqnarray*} P_{3} \end{eqnarray*}$ (3|1|6)

Meine Ideen:
Meine Idee ist es nun, ersteinmal die drei Seitenlängen auszurechnen:
Dabei berechne ich jeweils den Abstand von den Vektoren:
$\begin{eqnarray*} |P1P2| |P2P3| |P3P1| \end{eqnarray*}$
Dabei bekomme ich $\begin{eqnarray*} a = 9 , b = \sqrt{74} , c = \sqrt{36} \end{eqnarray*}$

Nun hatte ich die Idee, mithilfe der drei Seiten, die Fläche auszurechnen.
Dabei verwende ich den Satz des Heron:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)} \end{eqnarray*}$

Dabei komme ich hierauf:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{4} \sqrt{(9 + \sqrt{74} + \sqrt{36})(9 + \sqrt{74} - \sqrt{36})(\sqrt{74} + \sqrt{36} -9)(9 + \sqrt{36} - \sqrt{74})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 24,768 \end{eqnarray*}$

Jedoch hat ein Freund von mir etwas anderes raus. Sein Ergebnis ist 26,703. Er hat es aber grundlegend anders gerechnet, er meinte er hätte erst die Seitenlängen ausgerechnet, und dann irgendwie h ausgerechnet, um dies dann in die normale Formel zum Flächeninhalt ausrechnen gesetzt.

Nun ist meine grundlegende Frage, ob mein Ergebnis stimmen kann?

24.05.2011, 20:50

sulo

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RE: Mithilfe von 3 Vektoren Flächeninhalt von Dreieck berechnen

Zitat:

Original von Edelreth
Dabei berechne ich jeweils den Abstand von den Vektoren:
$\begin{eqnarray*} |P1P2| |P2P3| |P3P1| \end{eqnarray*}$
Dabei bekomme ich $\begin{eqnarray*} a = 9 , b = \sqrt{74} , c = \sqrt{36} \end{eqnarray*}$

Hier hast du leider Fehler gemacht. Nur der erste Abstand stimmt, die anderen beiden sind nicht richtig berechnet.

smile

24.05.2011, 21:00

Edelreth

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Ok , danke, habe es nun noch einmal gerechnet, und nun für

$\begin{eqnarray*} a = 9 , b = \sqrt{94} , c = \sqrt{37} \end{eqnarray*}$

Als Ergebnis kommt nun: 26,7067 raus, denke mal einer von uns beiden hat irgendwo falsch gerundet....

24.05.2011, 21:03

sulo

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Dein Ergebnis ist das genauere. Augenzwinkern

Der exakte Wert ist 1,5 * Wurzel aus 317.

smile

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