Kleinster Abstand einer Funktion vom vorgegebenem Punkt

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Sonja80 Auf diesen Beitrag antworten »
Kleinster Abstand einer Funktion vom vorgegebenem Punkt
Ich brauch mal wieder eure Hilfe.

Die Aufgabe lautet: Vom welchem Punkt des Graphen von f hat der Punkt Q den kleinsten Abstand?

Als Hilfe wurde uns folgende Funktion vorgegeben:



Mit Hilfe dieser Funktion soll man den Abstand berechnen können.

Aber ich verstehe weder warum man mit dieser Funktion den Abstand bestimmen kann, noch wie es funktioniert.

Kann mir das mal jemand erklären?

Ein Beispiel wäre die Funktion und der Punkt Q(0/0).

Aber das dürfte dann ja bei den anderen Funktionen ähnlich gehen.

Schon mal vielen Dank

Sonja
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinster Abstand einer Funktion vom vorgegebenem Punkt
Also, Abstand heißt, du hast eine (kleinste) Verbindung deines Punktes mit einem Punkt des Graphen, das ist eine Strecke. Nun willst du genau den Punkt finden, wo die Strecke am kürzesten ist.
Sagen wir dein Punkt Q hat folgende Koordinaten:



Wir haben einen Punkt, der zum Graphen gehört, den nennen wir P. Dann ist

Strecke PQ = Abstand

und denn nenne ich jetzt r, also

PQ = r

Dann machst du dir sozusagen für jeden Punkt ein rechtwinkliges Dreieck. Die eine Seite ist (x-a) und die andere (y-b), wobei y=f(x). Nach Pythagoras gilt dann



Das nach r umgestellt ergibt



Jetzt kannst du, wenn du willst für jeden Punkt x das r ausrechnen. Du willst aber nicht irgendeinen Punkt, sondern den, wo der Abstand am kleinsten ist. Da diese obige Gleichung für alle x gilt, machst du einfach eine Funktion draus, indem du sagst:



Dann hast du



Und somit hast du den Abstand für jedes x mithilfe einer Funktion dargetsellt. Wenn du jetzt herausfinden willst, wann d(x), also r, minimal wird, musst du nur noch diese Funktion ableiten und gleich 0 setzen! Und dann findest du dein x, wo r minimal wird. Dann noch zeigen, dass es ein Minimum ist und dann in f(x) = ... den gerade gefundenen x-Wert einsetzen und du hast auch deinen y-Wert. Und dann hast du deinen gesuchten Punkt.
Fertig.

Wenn du etwas nicht verstanden hast oder noch andere Fragen dazu hast, dann frag einfach nach!
MatheBlaster Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Sonja,

zeichne Dir doch mal eine Funktion und deinen Punkt Q(x_q,y_q)auf. Dann suchst Du Dir noch einen Punkt auf dem Funktionsgraphen, sagen wir mal P(x,y). Als nächstes zeichne Dir mal ein Dreick mit den Eckpunkten Q, P und (x,b) auf. Falls Q dem Ursprung entspricht, bekommst Du übrigens ein ordinäres Steigungsdreieck.

Jedenfalls sollte Dir am besagten Dreieck etwas auffallen bezüglich des Abstandes. Stichtwort: Pythagoras...

Edit: Super, schon wieder zu langsam smile
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, das Bild hätte dir bestimmt bereits weitergeholfen.. smile
So wie es MBl beschrieben hat.
Johko
Sonja80 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich glaube soweit habe ich es verstanden.

Ich habe also die erste Ableitung gebildet:




Ich befürchte ,dass die Ableitung nicht richtig ist. Wenn ich das ganze gleich 0 setze, kommt raus x=a

Und das kann ja nicht sein. Mein Punkt a heißt im Beispiel ja 0 und die Funktion heißt 1/x. Aber das geht ja nicht. Ich kann ja nicht durch 0 teilen :-(

Habt ihr eine Ahnung wo der Fehler liegen könnte?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Funktion hast du denn abgeleitet?? Und wie bist du dann auf diese Ableitung gekommen?
 
 
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Tipp:
Wenn ein Abstand minimal ist, ist sein Quadrat auch minimal, denn Abstände sind immer positiv.
Sonja80 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe so abgeleitet:

Erstmal alles ausgerechnet:



Dann umgeschrieben:



Dann die Kettenregel:


Dann wieder umgestellt:



Dann den hinteren Teil auf den Bruch gebracht und die Klammer im Nenner ausgerechnet.
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Da steht aber nicht (y-b)^2, sondern (f(x)-b)^2. Also musst du dir für f etwas aussuchen und einsetzen.
Sonja80 Auf diesen Beitrag antworten »

dann müsste ich doch für f(x) meine Funktion einsetzen. Im meinem Beispiel 1/x. Aber das würde trotzdem beim "Gleichnullsetzen" nicht weiterhelfen. Ich nehme mit dem Nenner mal, also 0*Nenner(die Null die rechts vom Gleichheitszeichen steht) Dann ist der Nenner weg und es bleibt nur der Zähler, aber da kommt ja dann x=a raus.

verwirrt
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Rechne das doch erst einmal aus - und nimm gleich das Quadrat, wie ich es empfohlen habe.
Sonja80 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe ich habe das richtig verstanden: Funktion, a und b einsetzen und ausrechnen:

Da meine Punkte a und b beide 0 sind, fällt einiges weg. Es bleibt:




Und was genau meinst du jetzt mit dem quadrat?
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Das Quadrat von d(x).
Sonja80 Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

Ausgerechnet:



Abgeleitet:

Gleich 0 gesetzt:

x=1

unglücklich
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Mathe-Lern-Gruppe Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank; hat uns sehr geholfen!!!

Die Mathe-lern-Gruppe der 13.

Viele Grüße aus Rinteln
glGr Auf diesen Beitrag antworten »
Das ganze in 3D
Ich bin mir nicht sicher ob das eine komplett neue Frage ist...
Ich stelle sie einfach mal hier
Ich möchte das Gleiche im Dreidimensionalen Raum machen, bis zum Ableiten funktioniert alles wunderbar, ich benutze einfach die 3D-Variante des Pythagoras, aber dann....
Wie kann ich die schöne Funktion y(x,z) ableiten, sodass ich den Abstand erhalte?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nun wirklich neue Fragen gibt es kaum...

Da der Thread sehr alt ist, empfehle ich einen neuen Thread, mit konkreteren Angaben.

Und wenn nicht, dann zumindest eine nachvollziehbare Anleitung, die zum Minimum führt.
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