Komplexe Zahl in trigo Form - Seite 2

26.05.2011, 22:32

lgrizu

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Zuerst den Radius ausrechnen ist auf alle Fälle korrekt und diesen dann "ausklammern".

Das Argument muss beide Bedingungen erfüllen und nicht eine von beiden.

Wie gesagt, der Vergleich von real und imaginärteil führt dich dann auf den Winkel.

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sin(\phi)=\frac{\sqrt3}{2} \end{eqnarray*}$ hat zwei Lösungen für phi, Ebenso die Gleichung $\begin{eqnarray*} \cos(\phi)=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , aber es gibt nur einen Winkel, der beide Glecihungen erfüllt.

Deshalb ist es von Vorteil, zuerst einmal zu überlegen, in welchem Quadranten man überhaupt nach dem Winkel suchen muss.

Liegt der Winkel im 1. oder im 4. Quadranten kann man den arctan verwenden, liegt er im 2. oder 3. Quadranten nicht.

26.05.2011, 22:40

MikeMoeller

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ok was wollen wir den zuerst machen du hast gesgat das argument gelte für beide bedingungen.

dh wir haben jetzt die wahl ob wir den winkel mit sin oder cos berechnen.

...also so würd eich es jetzt verstehen ^^^^....

26.05.2011, 22:43

lgrizu

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Wenn wir ihn nur mit dem Sinus berechnen haben wir zwei mögliche Winkel, von denen aber nur einer der gesuchte ist, um den zu bestimmen benötigen wir den Kosinus und andersherum.

Es müssen beide Bedingungen erfüllt sein.

26.05.2011, 22:46

MikeMoeller

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achso so hats mir nei eienr erklärt ...

also so wie du es sagst...könnte ich alle drei bedingungen ...zbs auch den tangens aufstellen und jenachdem würde sich mit einem ausschlußverfahren der richtige winkel ergeben ?

26.05.2011, 22:47

lgrizu

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Genau, wobei der arctan nur zu benutzen ist, wenn der Winkel im 1. oder im 4. Quadranten liegt.

26.05.2011, 22:51

MikeMoeller

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und das tut er nur wenn der winkel im bereich pi/2 -pi/2 verkehrt ? und das merke ich wenn ich dne tangens ausgerechnet habe ?

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26.05.2011, 22:54

lgrizu

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Nein, das merkst du nicht, wenn du den Tangens ausrechnest.

Rechne einmal das Argument der Zahl aus, welches ist es?

26.05.2011, 22:56

MikeMoeller

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na dann bekomme ich für tanx=-(3)^2

einmal 60 und einmal -60 grad heraus

26.05.2011, 22:57

lgrizu

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Und genau das ist falsch, was an dem eingschränkten Wertebereich des arctan liegt, hab ich aber auch schon mal geschrieben.

Also, neuer Versuch.

26.05.2011, 23:00

MikeMoeller

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ja ich weiß aber das hatte ich jetzt versucht so zu begründen ...also..

60 ° sind ja -wurzel aus 3 das sind -1.73 ungleich -pi/2 ...also gehts nicht ...

26.05.2011, 23:02

lgrizu

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Wir haben doch schon herausgearbeitet, dass der Winkel im 2. Quadranten liegt.

Jetzt überlege einmal, für welche beiden Winkel gilt $\begin{eqnarray*} \cos(\phi)=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ?

26.05.2011, 23:03

MikeMoeller

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können wir mal so ran gehen...wir haben jetzt halt beide bedingungen aufgestellt.

für sin bekommen wir +60 und -60 und für cosinus bekommen wir -60 und 60

... die müssen wir jetzt gegenüberstellen ?

26.05.2011, 23:06

lgrizu

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Zitat:

Original von MikeMoeller

für sin bekommen wir +60 und -60

Das ist falsch, es ist $\begin{eqnarray*} \sin(60°)=\frac{\sqrt{3}}{2} \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin(-60°) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MikeMoeller
und für cosinus bekommen wir -120 und 120

Das ist richtig.

26.05.2011, 23:10

MikeMoeller

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mom, 1/2 arc cos is aber 60 grad und -1/2 cos ist 120 grad

26.05.2011, 23:12

lgrizu

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Es ist $\begin{eqnarray*} \cos(120°)=\cos(240°)=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

So weit richtig, was das letzte Statement sagen soll weiß ich nicht.

Nun zum Sinus, für welche beiden Winkel gilt $\begin{eqnarray*} \sin(\phi)=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ ?

26.05.2011, 23:14

MikeMoeller

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sin ist einmal 60 und einmal -60

alo sind wi rusn einig das cos einmal 60 und einmal 120 ist ?

26.05.2011, 23:37

lgrizu

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Was soll das denn jetzt?

Du hast doch richtig geschrieben, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} \cos(\phi)=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für die Winkel $\begin{eqnarray*} \phi=120° \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi=240° \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, wie kommst du denn auf einmal auf 60°?

Jetzt konzentrier dich mal, das kann doch nicht wahr sein, ich schreibe in regelmäßigen Abständen das gleiche und du scheinst nichts davon anzunehmen.

Und noch einmal die Frage: Welche Winkel erfüllen die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sin(\phi)=\frac{\sqrt3}{2} \end{eqnarray*}$ ?

Der Winkel $\begin{eqnarray*} \phi=-60° \end{eqnarray*}$ sicherlich nicht, zum wiederholten Mal.

26.05.2011, 23:41

MikeMoeller

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sry

wenn ich -1/2 in den TR eingebe dann kommt da 120 grad raus...

und ja wenn ich den co aus 240 grad ziehe dann bekomm ich auch -1/2 raus...

allerdings versteh ich nicht wo die 240 herkommen ...

26.05.2011, 23:42

lgrizu

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Hast du dir denn die Zusammenhänge am Einheitskreis klar gemacht?

26.05.2011, 23:43

MikeMoeller

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so guts ging ja,

26.05.2011, 23:51

lgrizu

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Dann sollte sich die Frage doch geklärt haben.

Ebenso ist eine Erklärung dafür die Periodizität des Kosinus:

Die Schnittpunkte mit der Geraden sind $\begin{eqnarray*} \frac{2 \pi}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\frac{2 \pi}{3} \end{eqnarray*}$ , was den Winkeln 120° und -120° entspricht, und der Winkel -120° ist im positiven Drehsinn der Winkel 240°.

Edit: Achso, benutze nicht die Umkehrfunktion auf deinem TR, denn auch arccos und arcsin haben nur einen eingeschränkten Wertebereich.

26.05.2011, 23:56

MikeMoeller

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ich dachte 1/2 ist 120 grad verwirrt

verwirrt

26.05.2011, 23:57

MikeMoeller

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achso, die grüne linie..., mom ich muss mich erst rein denken

ich sehe nun das es dort zwei winkel gibt , aber errechnen können wir doch nur einen da uns nur ein cosinus wert gegeben ist und der ist -1/2 und dh 120 grad

27.05.2011, 00:01

lgrizu

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Der Winkel 120° ist ein stumpfer Winkel, liegt also im 2. Quadranten, dort ist der Kosinus negativ.
Der Winkel 240° liegt im 3. Quadranten, da ist der Kosinus auch negativ.

Ich erzähle hier wirklich alles mehrfach.

Du solltest dich wirklich mit dem Einheitskreis vertraut machen, sonst wird das nichts.

Und ich spreche von dem Einheitskreis in der x_1-x_2 Ebene, nicht von der Kosinusfunktion, die ordnet jedem Argument den zugehörigen Kosinuswert zu.

Du hattest das doch schon mal richtig:

Zitat:

Original von MikeMoeller
und für cosinus bekommen wir -120 und 120

Das stimmt, nun noch die Winkel bestimmen, für die gilt $\begin{eqnarray*} \sin(\phi)=\frac{\sqrt3}{2} \end{eqnarray*}$ .

27.05.2011, 00:06

MikeMoeller

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achso

also weil vor unserem 1/2 ein minus steht soll ich aus dme eineitskreis alle winkel raussuchen die negativ sind ??? ist das richtig...also nix rechnen mit TR sondern einfach nach den VZ gucken und dann in den einheitskrei s?

"
^^^^das ist richtig weil du anstatt -120 dann 240 schreibst ja ? .....ne das vohin muss zufall gewesne sein ich habe es ja in den Tr eingetippt und da stand dann 60 und 120 ...aber egal..."

27.05.2011, 00:12

lgrizu

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Zitat:

Original von MikeMoeller
achso

also weil vor unserem 1/2 ein minus steht soll ich aus dme eineitskreis alle winkel raussuchen die negativ sind ??? ist das richtig...also nix rechnen mit TR sondern einfach nach den VZ gucken und dann in den einheitskrei s?

Ganz so einfach ist es auch nicht. Du kannst dir den Thread ja morgen noch mal ausführlich durchlesen.

Zitat:

Original von MikeMoeller
"
^^^^das ist richtig weil du anstatt -120 dann 240 schreibst ja ? .....ne das vohin muss zufall gewesne sein ich habe es ja in den Tr eingetippt und da stand dann 60 und 120 ...aber egal..."

Der Winkel -120° ist im positiven Drehsinn 360-120=240.

Nun gut, um die Aufgabe zu Ende zu bringen:

Wir haben zwei Winkel zur Auswahl, 120° und 240°, der Sinus soll positiv sein, welcher Winkel ist es also?

Edit: Darf ich fragen was du machst? Schule Studium...?

27.05.2011, 00:16

MikeMoeller

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120 grad ^^ ...ich bin mir nicht sicher ...120 grad is ja positiv...der cos ist im 2 quadranten negativ...das is doch sicher falsch oder ?

27.05.2011, 00:18

lgrizu

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Nein, das ist richtig, es ist $\begin{eqnarray*} \cos(120°)=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(120°)=\frac{\sqrt3}{2} \end{eqnarray*}$ , also alles in Ordnung.

Wie lautet nun die Zahl in Polarkoordinaten?

27.05.2011, 00:24

MikeMoeller

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z=cos-1/2+i(3^1/2)/2

aber wurzel aus 3 durch 3 ist doch nicht sinus 120 °....um himmels wilen...ich weiß nicht was daran so schwirig ist...aber ich verstehs nicht...das ist echt nen rätsel.

27.05.2011, 00:27

lgrizu

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Okay, es reicht mir:

$\begin{eqnarray*} z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos\left(\frac{2 \pi}{3} \right)+i \sin \left(\frac{2\pi}{3} \right) \end{eqnarray*}$ .

In Grad:

$\begin{eqnarray*} z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \left(120° \right)+i \sin \left(120° \right) \end{eqnarray*}$

27.05.2011, 00:30

MikeMoeller

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okay, danke erstmal .... ich schaue mir morgen die sache heir nochmal an.

27.05.2011, 00:32

lgrizu

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Mach dich vor allem mit dem Einheitskreis vertraut, das ist das A und O bei diesen Aufgaben.

27.05.2011, 09:19

MikeMoeller

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morgen , ich habemir die winkel im einheitskreis nochmal angesehen

ich versteh jetzt was du mit diesen beziehungen meinst.

ich habe mir für diese aufgabe (erstmal) eine tabelle gemacht ...

wenn ich den sin für (3^1/2)/2 im einheitskreis berechne passiert folgendes.

1 Quadrant 60 grad positiv
2 quadrant 120 grad positiv
3 quadrant 240 grad negativ
4 quadrant 300 grad negativ

für den cos aus -1/2

1 Quadrant nichts
2 Quadrant 120 grad negativ
3 Quadrant 120 grad negativ
4 Quadrant nichts

von gestern habe ich mitgenommen das wir den winkel suchen indem sin und cos im gleichen quadranten positiv oder negativ sind.

Jetzt ist hier ein wiederspruch. Denn nur im 3 Quadranten sind beide negtaiv im 2 und dritten sind die Winkel gleich aber im 2 Quadranten ist der sin positiv und der cosinus negativ .

Ich zweifle das ergebnis von 120 grad nicht an weils richtig ist. Aber hier habe ich noch einige Verständigungsschwirigkeiten.

ich weiß also wonach ich gucken muss aber können wir usn den Teil nochmal angucken ?

gruß und danke, ist jetzt zwar nen bissel blöd aber wenn man das einmal verstanden hat bleibts drinne...das kommt davon wenn man sich noch nie damit wirklich befasst hat.

27.05.2011, 10:55

lgrizu

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Zitat:

Original von MikeMoeller

ich habe mir für diese aufgabe (erstmal) eine tabelle gemacht ...

Die Idee ist doch schon mal wirklich gut.

Zitat:

Original von MikeMoeller

wenn ich den sin für (3^1/2)/2 im einheitskreis berechne passiert folgendes.

1 Quadrant 60 grad positiv
2 quadrant 120 grad positiv
3 quadrant 240 grad negativ
4 quadrant 300 grad negativ

Das Vorzeichen ist aber positiv, wir können also den 3. und den 4. Quadranten streichen.

Zitat:

Original von MikeMoeller
für den cos aus -1/2

1 Quadrant nichts
2 Quadrant 120 grad negativ
3 Quadrant 120 grad negativ
4 Quadrant nichts

hier ist der Winkel im 3. Quadranten nicht 120° sondern 240°.

Zitat:

Original von MikeMoeller
von gestern habe ich mitgenommen das wir den winkel suchen indem sin und cos im gleichen quadranten positiv oder negativ sind.

Jetzt ist hier ein wiederspruch. Denn nur im 3 Quadranten sind beide negtaiv im 2 und dritten sind die Winkel gleich aber im 2 Quadranten ist der sin positiv und der cosinus negativ .

Und das ist der gesuchte Quadrant, denn der Sinus ist positiv in unserer Zahl und der Kosinus negativ.

Ich greife noch einmal die Idee mit der Tabelle auf, aber etwas anders.

Wir schauen uns zuerst einmal die Zahl z=r(a+bi) an,

1. Quadrant: a,b>0
2. Quadrant: a<0, b>0
3. Quadrant: a,b<0
4. Quadrant: a>0, b<0

Nun ist bei $\begin{eqnarray*} z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i \end{eqnarray*}$ der Cosinus negativ und der Sinus positiv, wir haben also den Fall a<0, b>0 und wissen, dass der Winkel deshalb im 2. Quadranten liegt.

27.05.2011, 11:35

MikeMoeller

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Zitat:
Original von MikeMoeller

wenn ich den sin für (3^1/2)/2 im einheitskreis berechne passiert folgendes.

1 Quadrant 60 grad positiv
2 quadrant 120 grad positiv
3 quadrant 240 grad negativ
4 quadrant 300 grad negativ

""Das Vorzeichen ist aber positiv, wir können also den 3. und den 4. Quadranten streichen.""

-wir streichen den 3 und 4 quadranten weil vor dem (3^1/2)/2 kein minus steht?
- ich habe negativ dahinter geschrieben das ist aber korrekt ja ?

27.05.2011, 12:12

lgrizu

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Zitat:

Original von MikeMoeller

-wir streichen den 3 und 4 quadranten weil vor dem (3^1/2)/2 kein minus steht?

Jap

Zitat:

Original von MikeMoeller
- ich habe negativ dahinter geschrieben das ist aber korrekt ja ?

Ebenso richtig.

27.05.2011, 13:25

MikeMoeller

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ok dann haben wir jetzt was wasserdichtes mit dem ich arbeiten kann. Habe soebend noch eine aufgabe gelöst udn die war auf anhieb richtig :-9

ich kann dir ganricht genug danken...vlt kann ich so aus der nächsten klausur noch ein paar punkte raus kitzeln,

determinanten matrizen vektoren und so dürften kein problem darstellen Prost

Prost

27.05.2011, 13:45

lgrizu

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Wenn du noch Fragen hast, melden, ansonsten schönes Wochenende.

27.05.2011, 14:32

MikeMoeller

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danke nochmal, schönes we ^^

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