Komplexe Zahl in trigo Form

24.05.2011, 21:57

MikeMoeller

Komplexe Zahl in trigo Form

Hallo,

hab mal ne Frage.

Ich habe folgende komplexe Zahl:

z=1-i3^1/2

davon habe ich r berechnet = 2 und den Winkel alpha = 60 ° oder -60° und da liegt der haken

um den winkel zu berechnen nehme ich ja Wurzel aus 3 geteilt durch 1 ...

durch die Wurzel bekomme ich entweder plus oder minus raus.

Was ist den jetzt richtig ?

in der lösung steht die komplexe Zahl in trigo form als 2cis300°

ich weiß jetzt nicht was ich auswählen soll oder ob sich ein winkel von beiden schon selber aus dem rennen wirft. ich muss ja irgendwie 360-60 grad rechnen um darauf zu kommen . Ich hoffe ihr könnt mir helfen

guß

24.05.2011, 22:26

lgrizu

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RE: Komplexe Zahl in trigo Form
Deine Zahl schaut also so aus: $\begin{eqnarray*} z=1-\sqrt3 \cdot i \end{eqnarray*}$ , sehe ich das richtig?

Wir wenden das Distributivgesetz auf den Radius r=2 an und erhalten:

$\begin{eqnarray*} z=2 \cdot \left( \frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) \end{eqnarray*}$ .

Nun ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2} i =\cos (\phi)+i \sin(\phi) \end{eqnarray*}$ .

Nun kann man durch die Bedingungen $\begin{eqnarray*} \cos(\phi)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(\phi)=- \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ das Argument eindeutig bestimmen.

Du hast ja bereits richtig erkannt, dass $\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{5 \pi}{3}\right)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Welchen Wert hat der Sinus bei diesen beiden Winkeln?

24.05.2011, 22:33

MikeMoeller

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hast dud as jetzt in die form z=r(cosphi +isinphi) umgewandelt ?

wir machen das so das wir r mit hilfe des pythagoras errechnen und phi ist der tangens aus b/a das waren bei mir ja wurzel3/1

24.05.2011, 22:39

lgrizu

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Zitat:

Original von MikeMoeller
hast dud as jetzt in die form z=r(cosphi +isinphi) umgewandelt ?

Nein, habe ich nicht, lies doch bitte einmal meinen letzten Post ausführlich und schreibe, was genau du nicht verstehst.

Zitat:

Original von MikeMoeller
wir machen das so das wir r mit hilfe des pythagoras errechnen und phi ist der tangens aus b/a das waren bei mir ja wurzel3/1

Den Radius habe ich gar nicht ausgerechnet, r=2 ist doch auch richtig, und gegen Pythagoras ist da nichts einzuwenden.

24.05.2011, 22:46

MikeMoeller

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sinus hätte den wert 60

oder -60

ich habe ja -(3^1/2)/3

25.05.2011, 00:18

lgrizu

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Jetzt drück dich bitte einmal ein wenig klarer aus.

Es ist $\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , das habe ich bereits geschrieben, also die Gleichung $\begin{eqnarray*} \cos(\phi)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ liefert uns den Winkel $\begin{eqnarray*} \pm 60° \end{eqnarray*}$ .

In welchen Quadranten liegen die beiden Winkel?

In welchem dieser Quadranten wird der Sinus negativ?

Das sind die wesentlichen Überlegungen.

25.05.2011, 18:16

MikeMoeller

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also für cos liegt der positive winkel im 1 quadranten und der egative im 4 quadranten

und der sinus wird im 4 quadranten negativ sowie im 3 auch

25.05.2011, 21:58

lgrizu

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Na also, in welchem Quadranten haben wir also unseren Winkel zu suchen?

Welcher Winkel ist es dann?

26.05.2011, 19:49

MikeMoeller

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im 4 Quatranten da in dem beide winkel liegen ja ?

+60 °

26.05.2011, 20:08

lgrizu

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Im 4. Quadranten ist richtig. Aber liegt der Winkel +60° tatsächlich im 4. Quadranten? verwirrt

26.05.2011, 20:12

MikeMoeller

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ne da liegt -60 wenn dann

smile

26.05.2011, 20:12

lgrizu

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Jawoll, nun haben wirs.

Wie schaut die Zahl also in Polarkoordinaten aus?

26.05.2011, 20:16

MikeMoeller

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2(cos-60°+ i sin -60°)

oder muss ich noch irgendwas betrachten jetzt ?

26.05.2011, 20:18

lgrizu

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Ich würde das nicht als negativen Winkel aufschreiben, -60° entspricht doch +300°, ansonsten okay und wir sind fertig.

26.05.2011, 20:20

MikeMoeller

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achso, das kann ich e einfahc machen ja ?

jetzt muss ich mal fragen, was ist wenn ich es mit dem tangens ausrechne da bekomme ich ja auch -60 +60 gradr aus.

?

26.05.2011, 20:27

lgrizu

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Wieso liefert dir der arctan denn zwei Ergebnisse?

Es ist $\begin{eqnarray*} \arctan(-\sqrt{3})=-\frac{ \pi}{3} \end{eqnarray*}$ .

26.05.2011, 20:29

MikeMoeller

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ich bin mir noch nen bissle unsicher wie lese ich richtig ab wo der winkel des cosinus und des sinus negativ bzw positiv sind ?

also dr cosinus ist im 1 positiv sowie im 3 und im 2 und 4 quadranten läuft der ja nicht durch ...wo ist de rbezugspuntk jewiels ?

26.05.2011, 20:36

lgrizu

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Okay, schon wieder etwas kryptisch.

Kennst du denn den Einheitskreis in der x-y Ebene?

[attach]19823[/attach]

Das rote ist der Sinus, das blaue der Kosinus, im 1. Quadranten ist der Sinus positiv und der Kosinun positiv, im zweiten Quadranten ist der Sinus positiv, der Kosinus negativ, usw.

26.05.2011, 20:37

MikeMoeller

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ahso ...ich habe mir die sinus und cosinus kurve angeschaut im koodinantensystem

26.05.2011, 20:38

lgrizu

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Und da hast du wonach gesucht?

26.05.2011, 20:40

MikeMoeller

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dh im 2 quadranten wäre der sin negativ und der cosinus auch ?

mom

im 1 Q sind beide positiv

im 2 sind sin negativ und cos positiv

im 3 sind beide negativ und im 4 sind sin negtaiv und cos positiv

26.05.2011, 20:43

lgrizu

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Der Sinus ist tatsächlich dort im 2. Quadranten negativ, der Kosinus auch, was daran liegt, dass die y-Werte in diesem Quadranten immer negativ sind.

Hast du denn die Vorgehensweise einigermaßen verstanden?

26.05.2011, 20:47

MikeMoeller

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also ich abe eine komplexe zahl und soll diese in trigoform schreiben

ich errechne r und den winkel,

wenn ich negtaiven und positiven winkel raus bekomme dann schreibe ich mir erstmal beide trigo formen auf und überprüfe dann ob sin und cos nen selben negativen winkel haben ...die trigo form die sich wiederspricht schmeiße ich raus.

ich kann mir auhc den einheitskreis aufzeichnen.

für jeden quadranten könnte ich aufstellen sindx=GK/H und cosx=AK/H

wenn die Werte für die AK oder GK negativ werden wird der winkel auch negativ

26.05.2011, 20:49

lgrizu

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Du hast dich schon wieder nicht ganz eindeutig ausgedrückt, ich denke aber du meinst das richtige.

26.05.2011, 20:51

MikeMoeller

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hm wo habe ich mich nciht richtig ausgedrückt smile

ich versuche immer so kurz wie möglich zu schreiben

26.05.2011, 20:57

lgrizu

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Zitat:

Original von MikeMoeller
also ich abe eine komplexe zahl und soll diese in trigoform schreiben

ich errechne r und den winkel,

Das ist korrekt.

Zitat:

Original von MikeMoeller
wenn ich negtaiven und positiven winkel raus bekomme dann schreibe ich mir erstmal beide trigo formen auf und überprüfe dann ob sin und cos nen selben negativen winkel haben ...die trigo form die sich wiederspricht schmeiße ich raus.

Einen negativen und einen positiven Winkel bekommst du wobei heraus?

Wieso erhälst du zwei Polarkoordinatendarstellungen?

Prinzipiell liefert dir der Kosinus zwei mögliche Ergebnisse, der Sinus dient dann dazu, den Winkel eindeutig zu bestimmen (oder andersherum).

Wie gesagt, ich denke aber, das meintest du auch so. Augenzwinkern

26.05.2011, 21:07

MikeMoeller

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$\begin{eqnarray*} z=-\frac{1}{2} +i\sqrt{3}/2 a=-\frac{1}{2} b=\sqrt{3}/2 r=\sqrt{a^{2} +b^{2} } tan\alpha =b/a = -40.89° oder 40,89° \end{eqnarray*}$

überprüfen wo der winkel von cos oder sin gleich ist....das geht im 1 quadranten und im 3 da cos und sin beide negativ sind im 3 quadranten und positiv im 1 quadranten...?

26.05.2011, 21:21

lgrizu

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Ist das eine neue Aufgabe?

Wir haben:

r=1 und $\begin{eqnarray*} \cos(\phi)=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(\phi)=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt sage mir zuerst, in welchem Quadranten du überhaupt zu suchen hast.

26.05.2011, 21:29

MikeMoeller

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alo ich würd eeinen tangens von 60 und -60 grad errechnen und dann müssen wir wieder unterscheiden oder ?

26.05.2011, 21:33

lgrizu

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In welchem Quadranten ist der Kosinus negativ und der Sinus positiv?

26.05.2011, 21:37

MikeMoeller

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moment,

soll ich das so sehen das der cos jetzt 60 ist udn der sinus -60 ?

das meine ich vorhin mit, ich mache erstmal zwei trigo formen auf eine mit sincos 60 und eine mit sincos -60

oder wie ? verwirrt

26.05.2011, 21:42

lgrizu

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Weder noch.

Hier hilft dir der arctan auch nicht weiter, denn dessen Wertebereich ist "nur" $\begin{eqnarray*} \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ .

Beantworte mir doch nun erst mal meine Frage, in welchem Quadranten ist der Sinus negativ und der Kosinus positiv?

26.05.2011, 21:48

MikeMoeller

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im 4

kann ich mit tan nicht alle sberechnen was ich will...sag ich mal so naiv

muss ich jetzt auch noch aufpassen wie ich den winkel errechne ?

26.05.2011, 21:53

lgrizu

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Der Wertebereich des Arctan, also der Umkehrfunktion des Tangens ist beschränkt, also kannst du damit hier nicht viel anfangen, habe ich bereits oben geschrieben, du kämst wieder auf einen Winkel von -60° und das ist hier falsch.

Ebenso ist der 4. Quadrant falsch (hier ist der Sinus negativ und der Kosinus positiv).

Jetzt nimm dir mal einen Zettel und einen Stift und zeichne dir den Einheitskreis in eine x-y-Ebene, und beantworte mir die folgende Frage:

Welches Vorzeichen hat der Sin, cos in welchem Quadranten?

26.05.2011, 21:54

MikeMoeller

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1 beide positiv
2. sin positiv cos negativ
3. sinus negtaiv und cosinus negativ
4. sinus negtaiv cos positiv

26.05.2011, 21:56

lgrizu

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In welchem Quadranten haben wir also den Winkel zu suchen, der die Bedingungen $\begin{eqnarray*} \cos(\phi)=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(\phi)=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ erfüllt?

26.05.2011, 22:11

MikeMoeller

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im 2

hast du die formeln

cosx=a/r und sinx=b/r benutzt?

26.05.2011, 22:12

MikeMoeller

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und im dritten da sinus auch negativ werden kann

26.05.2011, 22:18

lgrizu

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Im zweiten Quadranten ist richtig.

Welche Formel soll ich benutzt haben? verwirrt

Du hast die Zahl gegeben: $\begin{eqnarray*} z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos(\phi)+i \cdot \sin(\phi) \end{eqnarray*}$ .

Nun muss man phi ausrechnen, das führt auf einen Vergleich des Real und Imaginärteils und wir erhalten:

$\begin{eqnarray*} \cos(\phi)=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(\phi)=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

und im dritten da sinus auch negativ werden kann

Verstehst du denn, was wir hier machen?

26.05.2011, 22:25

MikeMoeller

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naja nachdem ich die wurzel aus drei gezigen habe gibt es doch einennegativ und positiv wwert...also zwei winkel...?

ich glaub ich versteh des nicht.

also ich habe quasi eine formelsammlung

da steht drinne das die trigonometrische form so aussieht

z=(r(cos alpha+i sin apha)

z=a+ib

r=(a^2+b^2)^1/2

tan alpha = b/a
cos alpha = a/r
sin alpha = b/r

also rechen ich egal wie den winkel und r aus. Und setzte das in die form da oben ein. Du hast mir erzählt und das ist ja auch so das wenn ich den tangens ausrechne ich auf einen y wert größer -pi/2 komme. Das ist außerhalb des Wb von arctan. Also muss ich sin ODER cos nehmen? Es sah für mich so aus als rechnest du eigentlich (vlt unbewusst da du es schon kannst) mit meienr formel für den sin UND ODER cosinus....r ist in dieser aufgabe ja 1....und daraus habe ich geschlußfolgert das du sinus und cosinus benutzt....ein ODER wäre ja flasch...?

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