tangenten an ellipse

24.05.2011, 21:58	JL	Auf diesen Beitrag antworten »
tangenten an ellipse Meine Frage: hallo zusammen! ich möchte die gleichung einer tangente an eine ellipse in erster hauptlage herleiten und hab so meine schwierigkeiten. Meine Ideen: ich bin von der gleichung für die tangente von y=kx+d ausgegangen, wobei k die erste ableitung der ellipse im berührpunkt (x/y) ist. ell: b²(xp)²+a²(yp)²=a²b² ell': 2b²xp+2a²ypy'=0 y'=-2b²xp/2a²yp also -b²xp/a²yp=k damit komm ich auf a²yyp+b²xxp=a²ypd da ich weiß wie die gleichung aussehen sollte stellt sich mir die frage warum ypd immer b² entspricht, bzw warum ich das annehmen kann. danke im voraus LGJL
24.05.2011, 22:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Punktrichtungsform: $\begin{eqnarray} y - y_p = -\frac{b^2x_p}{a^2y_p}(x - x_p) \ \ \| \ \cdot a^2y_p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^2yy_p - a^2y_p^2 = -b^2x_p^2 + b^2x_p^2 \end{eqnarray}$ Nun ordne und verwende die Tatsache, dass $\begin{eqnarray} P(x_p; y_p) \end{eqnarray}$ auf der Ellipse liegt (die Koordinaten dieses Punktes sind in die Elllipsengleichung einzusetzen)! Fertig. mY+
24.05.2011, 23:28	JL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: tangenten an ellipse ok aber meine frage war, warum ypd bei jeder tangente b² entspricht...laut meiner rechnung wäre das nämlich so....oder habe ich einen fehler gemacht? die gleichung sollte doch lauten : a²yyp+b²xxp=a²b² ich komme auf : a²yyp+b²xxp=a²ypd das heißt yp*d = b² warum ist das so?? danke
24.05.2011, 23:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen oben. Lies dir das doch nochmal genau durch. Oder kannst du das nicht nachvollziehen? Hinweis: Das d ist ebenfalls in der Punktrichtungsform enthalten. mY+
24.05.2011, 23:45	JL	Auf diesen Beitrag antworten »
nja d ist ein element der tangente, genauer gesagt der y wert bei x=0 wenn ich das aber in meine gleichung einsetze komme ich nur wieder auf y=d was mich nicht weiter bringt... ansonsten ist mir deine erste ausführung eher schleierhaft...bitte um erklärung danke
24.05.2011, 23:56	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Weshalb willst du nicht auf das eingehen, was ich dir schon weitgehend angesetzt habe? Oder ist dir die Punktrichtungsform unbekannt oder zu unbequem? Diese stellt ja ebenfalls nichts anderes als die Geradengleichung y = kx + d dar. Jetzt musst du daraus nur noch das d herauskitzeln: $\begin{eqnarray} y = -\frac{b^2x_p}{a^2y_p} \cdot x + \frac{b^2x_p^2}{a^2y_p} + y_p \end{eqnarray}$ Das, was da nun rechts von dem x-Term steht, ist das d. Nun addiere die beiden Terme und verwende wieder (!), dass P auf der Ellipse liegt! $\begin{eqnarray} d = \frac{b^2x_p^2}{a^2y_p} + y_p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \ dy_p = b^2 \end{eqnarray}$ Übrigens kommst du über die Berührbedingung [ $\begin{eqnarray} a^2k^2 + b^2 = d^2 \end{eqnarray}$ ] zum selben Resultat bzw. kannst mit obiger Rechnung ebendiese auch beweisen. mY+
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