Funktion modifizieren für Stetigkeit

24.05.2011, 22:46	Guenni	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion modifizieren für Stetigkeit geg. : f(x,y) = $\begin{eqnarray} \frac{x y}{x^{2}+ y^{2} } \end{eqnarray}$ Diese Funktion ist im Nullpunkt nicht defieniert. Kann man dort einen Funktionswert so ergänzen, dass die so modifizierte Funktion im Nullpunkt stetig ist? Also ich hab mir erst mal gedacht , dass ich einfach die Funktion so modifiziere dass ich einen konstanten Summanden c in den Nenner addiere, so dass dann steht C + $\begin{eqnarray} {x^{2}+ y^{2} } \end{eqnarray}$ für C ungleich Null versteht sich. Reicht dass als Modifikation?
24.05.2011, 23:01	carlf	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion modifizieren für Stetigkeit Hi Guenni, wenn du das machst, dann ist die Funktion natürlich auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ definiert. Und als Quotient zweier stetiger Funktionen (mit Nenner ungleich 0) ist sie auch überall dort stetig. Allerdings ist mit "dort einen Funktionswert ergänzen" etwas anderes gemeint. Die neue Funktion soll überall auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \setminus \{0\} \end{eqnarray}$ genauso wirken wie die ursprüngliche Funktion. Überall dort ist die alte Funktion ja auch stetig (als Quotient stetiger Funktionen mit Nenner ungleich 0). Nur in 0 musst die modifizierte Funktion eben einen anderen Wert annehmen, damit sie auch dort definiert und stetig ist. Was bedeutet nun die Stetigkeit in 0 für die Funktion g mit $\begin{eqnarray} g (x, y) = f(x, y) \end{eqnarray}$ für alle reellen x, y außer für x = y?

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